Question Number 67918 by aliesam last updated on 02/Sep/19
Answered by $@ty@m123 last updated on 02/Sep/19
$${Let}\:\alpha+\beta={x} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{x}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}=\mathrm{1}\Rightarrow{x}=\mathrm{45}^{\mathrm{o}} \:\:…\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{tan}\:\beta=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{sin}\:\beta=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{10}}}\:\&\:\mathrm{cos}\:\beta=\frac{\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{10}}}\:..\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\therefore\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{12}\alpha+\mathrm{13}\beta\right)=\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{12}{x}+\beta\right) \\ $$$$=\mathrm{cos}\:\mathrm{12}{x}\mathrm{cos}\:\:\beta−\mathrm{sin}\:\mathrm{12}{x}\mathrm{sin}\:\beta \\ $$$$=\mathrm{cos}\:\mathrm{540}^{\mathrm{o}} ×\frac{\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{10}}}−\mathrm{sin}\:\mathrm{540}^{\mathrm{o}} ×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{10}}} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)×\frac{\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{10}}}−\mathrm{0}×\frac{\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{10}}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{10}}} \\ $$