Question Number 69192 by TawaTawa last updated on 21/Sep/19
Answered by mr W last updated on 21/Sep/19
$${let}\:\angle{BAD}=\alpha \\ $$$${side}\:{length}\:={a} \\ $$$$\frac{{a}}{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{60}+\alpha\right)}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{sin}\:\alpha}\:\:\:\:…\left({i}\right) \\ $$$$\frac{{a}}{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{60}+\mathrm{30}−\alpha\right)}=\frac{{a}}{\mathrm{cos}\:\alpha}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{30}−\alpha\right)}\:\:\:…\left({ii}\right) \\ $$$$\left({i}\right)/\left({ii}\right): \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{cos}\:\alpha}{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{60}+\alpha\right)}=\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{30}−\alpha\right)}{\mathrm{5}\:\mathrm{sin}\:\alpha} \\ $$$$\frac{\mathrm{cos}\:\alpha}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\alpha+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\alpha}=\frac{\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\alpha−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\alpha\right)}{\mathrm{5}\:\mathrm{sin}\:\alpha} \\ $$$$\frac{\mathrm{4}\:\mathrm{cos}\:\alpha}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:\alpha+\mathrm{sin}\:\alpha}=\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{cos}\:\alpha−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:\alpha\right)}{\mathrm{5}\:\mathrm{sin}\:\alpha} \\ $$$$\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{tan}\:\alpha}=\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{tan}\:\alpha\right)}{\mathrm{5}\:\mathrm{tan}\:\alpha} \\ $$$${let}\:{t}=\mathrm{tan}\:\alpha \\ $$$$\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\:{t}}{\mathrm{5}{t}} \\ $$$$\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{26}{t}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{t}=\mathrm{tan}\:\alpha=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{9}}\Rightarrow\alpha=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{9}}\approx\mathrm{10}.\mathrm{9}° \\ $$$${from}\:\left({i}\right): \\ $$$${a}=\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{60}+\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\mathrm{3}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\:\mathrm{tan}\:\alpha}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{15} \\ $$$${a}=\mathrm{3}+{x}+\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow{x}={a}−\mathrm{8}=\mathrm{7} \\ $$
Commented by TawaTawa last updated on 21/Sep/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir},\:\mathrm{i}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time} \\ $$