Question Number 69385 by Maclaurin Stickker last updated on 23/Sep/19
Answered by Maclaurin Stickker last updated on 23/Sep/19
$${There}\:{is}\:{another}\:{way}\:{to}\:{solve}\:{this} \\ $$$${question}\:{just}\:{using}\:{algebra}: \\ $$$$\frac{{FD}}{\mathrm{1}}=\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}\Rightarrow{FD}=\frac{{x}}{{x}+\mathrm{1}}\:{Now}\:{we}\:{can}\:{use} \\ $$$${Pythagorean}\:{theorem}\:{on}\:\bigtriangleup{FDE}: \\ $$$${FD}^{\mathrm{2}} +{DE}^{\mathrm{2}} ={FE}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{Now}\:{we}\:{can}\:{multiply}\:{the}\:{sides}\:{by}\:\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} : \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \Rightarrow\left({x}\left({x}+\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} =\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$${Now}\:{we}\:{can}\:{use}\:{the}\:{formula}\:\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} ={a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{ab}+{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$${It}\:{is}\:{square}\:{completion}. \\ $$$${let}\:{b}=\mathrm{1}\:{and}\:{a}={x}\left({x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left({x}\left({x}+\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{1}+\mathrm{1}^{\mathrm{2}} =\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{1}+\mathrm{1}^{\mathrm{2}} \\ $$$${We}\:{can}\:{convert}\:{the}\:{first}\:{expression} \\ $$$${to}\:{a}\:{perfect}\:{square}\:{trinomial} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} ={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}=\sqrt{\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}=\left({x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{2}\:} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}={x}\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}−{x}\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right){x}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$${Using}\:{quadratic}\:{formula},\:{we}\:{have}: \\ $$$${x}=\frac{−\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\pm\sqrt{\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}.\mathrm{1}.\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\pm\sqrt{−\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{x}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{−\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\:{and}\:{x}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{−\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}_{\mathrm{2}\:} \:{is}\:{negative},\:{then}\:{the}\:{answer}\:{is} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{−\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{0}.\mathrm{883204} \\ $$$$ \\ $$
Answered by MJS last updated on 23/Sep/19
$$\mathrm{coordinate}\:\mathrm{method} \\ $$$$\mathrm{let}\:{x}={q}\:\mathrm{to}\:\mathrm{not}\:\mathrm{get}\:\mathrm{confused}\:\mathrm{with}\:{x},\:{y}\:\mathrm{coordinates} \\ $$$${A}=\begin{pmatrix}{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}\end{pmatrix}\:\:{B}=\begin{pmatrix}{\mathrm{0}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\:{C}=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\:{D}=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{\mathrm{0}}\end{pmatrix} \\ $$$${E}=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}+{q}}\\{\mathrm{0}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{line}\:{BE}:\:{y}=−\frac{\mathrm{1}}{{q}+\mathrm{1}}{x}+\mathrm{1} \\ $$$${F}\in{BE}\:\Rightarrow\:{F}=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{\frac{{q}}{{q}+\mathrm{1}}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mid{EF}\mid^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$${q}^{\mathrm{2}} +\frac{{q}^{\mathrm{2}} }{\left({q}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1} \\ $$$${q}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{q}^{\mathrm{3}} +{q}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{q}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${q}={t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${t}^{\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({t}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\frac{\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}{t}+\frac{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{t}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{−\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}=−\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{−\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by Mr. K last updated on 23/Sep/19
$${Great}! \\ $$
Commented by MJS last updated on 23/Sep/19
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$