Question Number 7013 by Master Moon last updated on 06/Aug/16
Commented by Yozzis last updated on 06/Aug/16
$$\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{k}}\end{pmatrix}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} {x}^{{k}} =\mathrm{1}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{k}}\end{pmatrix}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} {x}^{{k}} \:\:\:\:\left({x}\in\mathbb{R}\right)\:\:\left\{{Binomial}\:{theorem}\right) \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{0}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)^{{n}} {dx}=\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{0}} \left\{\mathrm{1}−\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:{x}+\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{2}}\end{pmatrix}\:{x}^{\mathrm{2}} −\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{3}}\end{pmatrix}\:{x}^{\mathrm{3}} +…+\begin{pmatrix}{{n}}\\{{n}}\end{pmatrix}\:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{{n}} \right\}{dx} \\ $$$$\int_{{a}} ^{{b}} {f}\left({x}\right){dx}=−\int_{{b}} ^{{a}} {f}\left({x}\right){dx} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =−\left[{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{2}}\end{pmatrix}\:{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{3}}\end{pmatrix}\:{x}^{\mathrm{4}} +…+\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \begin{pmatrix}{{n}}\\{{n}}\end{pmatrix}\:{x}^{{n}+\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\right)=−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{3}}\end{pmatrix}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{4}}\end{pmatrix}+…+\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{n}}\end{pmatrix}\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}=−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{2}}\end{pmatrix}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{3}}\end{pmatrix}\:+…+\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{n}}\end{pmatrix} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{2}}\end{pmatrix}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{\mathrm{3}}\end{pmatrix}\:+…+\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{n}}\end{pmatrix}=\frac{{n}}{{n}+\mathrm{1}} \\ $$
Answered by Yozzii last updated on 08/Aug/16
$${Check}\:{for}\:{an}\:{answer}\:{in}\:{the}\:{comments}. \\ $$