Question Number 70913 by TawaTawa last updated on 09/Oct/19
Commented by mathmax by abdo last updated on 10/Oct/19
$${we}\:{have}\:\frac{{z}^{\mathrm{2017}} −\mathrm{1}}{{z}−\mathrm{1}}\:=\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \left({z}−{e}^{\frac{{i}\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{2017}}} \right) \\ $$$${z}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{1}\:=\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \left(−\mathrm{1}−{e}^{\frac{{i}\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{2017}}} \right)\:=\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \left(\mathrm{1}+{e}^{\frac{{i}\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{2017}}} \right) \\ $$$$=\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \left(\mathrm{1}+{cos}\left(\frac{\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)+{isin}\left(\frac{\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)\right) \\ $$$$=\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \left(\mathrm{2}{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)+\mathrm{2}{icos}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right){sin}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} \:\prod_{{k}=} ^{\mathrm{2016}} {cos}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} {e}^{\frac{{ik}\pi}{\mathrm{2017}}} \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} \:\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{cos}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right){e}^{\frac{{i}\pi}{\mathrm{2017}}\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{k}} \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} \:\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{cos}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)\:{e}^{\frac{{i}\pi}{\mathrm{2017}}\frac{\mathrm{2016}.\mathrm{2017}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$={i}^{\mathrm{2016}} \:.\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} \:\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{cos}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)\:\Rightarrow\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{cos}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:\frac{\mathrm{1}}{{cos}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)}\:=\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 10/Oct/19
$${let}\:{p}\left({z}\right)={z}^{\mathrm{2017}} −\mathrm{1}\:\:{roots}\:{of}\:{p}\left({z}\right) \\ $$$${p}\left({z}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow{z}^{\mathrm{2017}} ={e}^{{i}\mathrm{2}{k}\pi} \:\Rightarrow{z}_{{k}} ={e}^{\frac{{i}\mathrm{2}\pi{k}}{\mathrm{2017}}} \:\:\:\:{and}\:\mathrm{0}\leqslant{k}\leqslant\mathrm{2026} \\ $$$${p}\left({z}\right)=\prod_{{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{2016}} \left({z}−{z}_{{k}} \right)\:=\left({z}−\mathrm{1}\right)\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \left({z}−{e}^{\frac{{i}\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{2017}}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{{z}^{\mathrm{207}} −\mathrm{1}}{{z}−\mathrm{1}}\:=\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \left({z}−{e}^{\frac{{i}\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{2017}}} \right)\:\:{let}\:{passe}\:{to}\:{limit}\:\left({x}\rightarrow\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2017}\:=\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \left(\mathrm{1}−{cos}\left(\frac{\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)−{isin}\left(\frac{\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)\right) \\ $$$$=\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \left(\mathrm{2}{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)−\mathrm{2}{isin}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right){cos}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)\right) \\ $$$$=\left(−\mathrm{2}{i}\right)^{\mathrm{2016}} \:\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{sin}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{e}^{{i}\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}} \\ $$$$=\left(−\mathrm{2}{i}\right)^{\mathrm{2016}} \:\:{e}^{\frac{{i}\pi}{\mathrm{2017}}\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} {k}} \:\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{sin}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right) \\ $$$$=\left(−\mathrm{2}{i}\right)^{\mathrm{2016}} \:\:{e}^{\frac{{i}\pi}{\mathrm{2017}}\frac{\left(\mathrm{2016}\right)\left(\mathrm{2017}\right)}{\mathrm{2}}} \:\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{sin}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right) \\ $$$$=\left(−\mathrm{2}{i}\right)^{\mathrm{2016}} \:\left({i}\right)^{\mathrm{2016}} \:\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{sin}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} \:\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{sin}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)\:\Rightarrow\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{sin}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)=\frac{\mathrm{2017}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} } \\ $$$${rest}\:{to}\:{calculate}\:\prod_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{2016}} \:{cos}\left(\frac{{k}\pi}{\mathrm{2017}}\right)….{be}\:{continued}…. \\ $$
Commented by TawaTawa last updated on 10/Oct/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 10/Oct/19
$${you}\:{are}\:{welcome}. \\ $$
Answered by mind is power last updated on 10/Oct/19
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2016}} {\prod}}\frac{{e}^{{inx}} +{e}^{−{inx}} }{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} }.\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2016}} {\prod}}\left({e}^{\mathrm{2}{inx}} +\mathrm{1}\right).\frac{\mathrm{1}}{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2016}} {\prod}}{e}^{{inx}} }\:\:\:{x}=\frac{\pi}{\mathrm{2017}} \\ $$$${Z}^{\mathrm{2017}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow{Z}^{\mathrm{2017}} ={e}^{\mathrm{2}{ik}\pi} \\ $$$${Z}={e}^{{i}\frac{\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{2017}}} ,{k}\in\left\{\mathrm{0},\mathrm{1},,\mathrm{2016}\right\} \\ $$$${Z}^{\mathrm{2017}} −\mathrm{1}=\left({z}−\mathrm{1}\right).\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{k}=\mathrm{2016}} {\prod}}\left({z}−{e}^{\frac{\mathrm{2}{ik}\pi}{\mathrm{2017}}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2016}} {\prod}}\left(−\mathrm{1}−{e}^{\frac{\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{2017}}} \right)=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2017}} −\mathrm{1}}{−\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2016}} {\prod}}\left(−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+{e}^{\mathrm{2}{inx}} \right)=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2016}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{e}^{\mathrm{2}{inx}} \right)=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2016}} {\coprod}}{cos}\left({nx}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} }.\mathrm{1}.\frac{\mathrm{1}}{{e}^{{ix}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2016}} {\sum}}{n}} } \\ $$$$\underset{\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2016}} {\sum}}{n}=\mathrm{1008}.\mathrm{2017} \\ $$$${e}^{{ix}\Sigma{n}} ={e}^{{i}\frac{\pi}{\mathrm{2017}}\:.\mathrm{2017}.\mathrm{1008}} ={e}^{{i}\mathrm{1008}\pi} =\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2016}} {\coprod}}{cos}\left(\frac{{n}\pi}{\mathrm{2017}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} }\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2016}} {\prod}}{sec}\left(\frac{{n}\pi}{\mathrm{2017}}\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{2016}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by TawaTawa last updated on 10/Oct/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by mind is power last updated on 10/Oct/19
$${y}'{re}\:{welcom} \\ $$