Question-71327

Question Number 71327 by TawaTawa last updated on 13/Oct/19

Answered by mind is power last updated on 13/Oct/19

ferma lemma x^5 =x(5) x^4 =1(5) if and only if x≠0 x=0 solution x≠0a⇔2x+2x^2 −x−2x^2 −x=0(5) ⇒0=0(5) ⇒always true b) x solution ⇒x^4 +x≠0(7) all think below is modd(7) x^4 +x=x(x+1)(x^2 −x+1)=x(x+1)(x^2 −x−6) =x(x+1)(x−3)(x+2)=x(x−6)(x−3)(x−5) x^4 +x=0(7) if x=0,3,5,6(7) just to test 1,2,4 fir 2 ∣x^4 +x=18=4(7) not solution x=4∣x^4 +x+2=2^8 +4+2=1(7) x=1⇒x^4 +x+2=4(7) not slution S=∅

$$\mathrm{ferma}\:\mathrm{lemma}\: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{5}} =\mathrm{x}\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{1}\left(\mathrm{5}\right)\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{x}\neq\mathrm{0a}\Leftrightarrow\mathrm{2x}+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}=\mathrm{0}\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{0}=\mathrm{0}\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{always}\:\mathrm{true} \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\:\mathrm{x}\:\mathrm{solution}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}\neq\mathrm{0}\left(\mathrm{7}\right) \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{think}\:\mathrm{below}\:\mathrm{is}\:\mathrm{modd}\left(\mathrm{7}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{6}\right) \\ $$$$=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}=\mathrm{0}\left(\mathrm{7}\right)\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}=\mathrm{0},\mathrm{3},\mathrm{5},\mathrm{6}\left(\mathrm{7}\right) \\ $$$$\mathrm{just}\:\mathrm{to}\:\mathrm{test}\:\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{fir}\:\mathrm{2}\:\mid\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}=\mathrm{18}=\mathrm{4}\left(\mathrm{7}\right)\:\mathrm{not}\:\mathrm{solution}\: \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{4}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}+\mathrm{2}=\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{4}+\mathrm{2}=\mathrm{1}\left(\mathrm{7}\right) \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}+\mathrm{2}=\mathrm{4}\left(\mathrm{7}\right)\:\mathrm{not}\:\mathrm{slution} \\ $$$$\mathrm{S}=\varnothing \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by TawaTawa last updated on 14/Oct/19