Question Number 74997 by chess1 last updated on 05/Dec/19
Commented by chess1 last updated on 05/Dec/19
$$\mathrm{answer}:\:\mathrm{A} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 05/Dec/19
$$\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2019}} }{\mathrm{dx}^{\mathrm{2019}} }\left(\mathrm{X}^{\mathrm{3}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right)\mid_{\mathrm{x}=\mathrm{0}} = \\ $$$$\mathrm{Re}\left\{\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2019}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{2019}} ^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{X}^{\mathrm{3}} \right)^{\left(\mathrm{k}\right)} .\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \right)^{\left(\mathrm{2019}−\mathrm{k}\right)} \right\} \\ $$$$=\mathrm{C}_{\mathrm{2019}} ^{\mathrm{3}} .\left(\mathrm{6}\right).\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \right)^{\left(\mathrm{2016}\right)} \mid_{\mathrm{x}=\mathrm{0}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2019}!}{\left(\mathrm{2019}−\mathrm{3}\right)!}.\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } \right)^{\left(\mathrm{2016}\right)} \mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } =\underset{\mathrm{j}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{j}} }{\mathrm{j}!}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{k}} }\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } =\underset{\mathrm{j}=\mathrm{0}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{k}} }\frac{\left(\mathrm{i}\right)^{\mathrm{j}} \mathrm{x}^{\mathrm{2j}} }{\mathrm{j}!} \\ $$$$=\underset{\mathrm{j}=\mathrm{E}\left(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{2}}\right)} {\overset{+\infty} {\sum}}\:\:\:\:\left(\mathrm{2j}\right)\left(\mathrm{2j}−\mathrm{1}\right)…\left(\mathrm{2j}−\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2j}−\mathrm{k}} }{\mathrm{j}!} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2016}} }\mathrm{e}^{\mathrm{ix}^{\mathrm{2}} } =\underset{\mathrm{j}=\mathrm{1008}} {\overset{+\infty} {\sum}}\left(\mathrm{2j}\right)\left(\mathrm{2j}−\mathrm{1}\right)…..\left(\mathrm{2j}−\mathrm{2016}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{j}} \mathrm{x}^{\mathrm{2j}−\mathrm{2018}} .\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{j}!}.\underset{\mathrm{x}=\mathrm{0}} {\mid} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2016}.\left(\mathrm{2015}\right)………\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{1008}} }{\mathrm{1008}!} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2016}!}{\mathrm{1008}!} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{get}\:\mathrm{so} \\ $$$$\mathrm{Re}\left\{\frac{\mathrm{2019}!}{\mathrm{2016}!}.\frac{\mathrm{2016}!}{\mathrm{1008}!}\right\}=\frac{\mathrm{2019}!}{\mathrm{1008}!} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by vishalbhardwaj last updated on 06/Dec/19
$$\mathrm{please}\:\mathrm{explain}\:\mathrm{the}\:\mathrm{steps}\:\mathrm{of}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{and}\:\mathrm{their} \\ $$$$\mathrm{notation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{symbols}\:\mathrm{used}\:\mathrm{here}\:\mathrm{with}\:\mathrm{depth} \\ $$
Commented by chess1 last updated on 06/Dec/19
$$\mathrm{thanks} \\ $$
Commented by mind is power last updated on 06/Dec/19
$$\mathrm{ok}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{i}\:\mathrm{Will}\:\mathrm{post}\:\mathrm{complet}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{later}\: \\ $$