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Question-76167

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 76167 by Master last updated on 24/Dec/19
Answered by behi83417@gmail.com last updated on 24/Dec/19
⇒ { ((3x−x^2 −3y+xy=1−3x−xy+3x^2 y)),((2x−x^2 +2y−xy=1−2x+xy−2x^2 y)) :} ⇒ { ((x−5y+2xy=−x−2xy+5x^2 y)),((5x−2x^2 −y=2−5x+x^2 y)) :} ⇒ { ((2x−5y+4xy−5x^2 y=0)),((10x−y−2x^2 −x^2 y−2=0⇒y=((10x−2−2x^2 )/(1+x^2 )))) :} 2x−5((−2x^2 +10x−2)/(1+x^2 ))+4x((−2x^2 +10x−2)/(1+x^2 ))−5x^2 ((−2x^2 +10x−2)/(1+x^2 ))=0 2x(1+x^2 )−5(−2x^2 +10x−2)+4x(−2x^2 +10x−2)−5x^2 (−2x^2 +10x−2)=0 ⇒2x+2x^3 +10x^2 −50x+10−8x^3 +40x^2 −8x+20x^4 −50x^3 +10x^2 =0 ⇒10x^4 −28x^3 +30x^2 −28x+5=0 ⇒ { ((x=0.22⇒y=0.098)),((x=1.93⇒y=2.1)) :}
$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{3x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}+\mathrm{xy}=\mathrm{1}−\mathrm{3x}−\mathrm{xy}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}\\{\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}−\mathrm{xy}=\mathrm{1}−\mathrm{2x}+\mathrm{xy}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}−\mathrm{5y}+\mathrm{2xy}=−\mathrm{x}−\mathrm{2xy}+\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}\\{\mathrm{5x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}=\mathrm{2}−\mathrm{5x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{2x}−\mathrm{5y}+\mathrm{4xy}−\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{10x}−\mathrm{y}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{10x}−\mathrm{2}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{2x}−\mathrm{5}\frac{−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}−\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{4x}\frac{−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}−\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} \frac{−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}−\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{5}\left(−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{4x}\left(−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}−\mathrm{2}\right)−\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2x}+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{50x}+\mathrm{10}−\mathrm{8x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{40x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8x}+\mathrm{20x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{50x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{10x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{28x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{30x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{28x}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}=\mathrm{0}.\mathrm{22}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{0}.\mathrm{098}}\\{\mathrm{x}=\mathrm{1}.\mathrm{93}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{2}.\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$
Answered by vishalbhardwaj last updated on 24/Dec/19
(x−y)(3−x)=(1−3x)(1−xy) 3x−x^2 −3y+xy=1−xy−3x+3x^2 y −x^2 +6x=−2xy+3y+3x^2 y+1 −x^2 +6x−1=y(−2x+3+3x^2 ) ⇒ y= ((6x−x^2 −1)/(3x^2 −2x+3)) (i) and in the same way for second equation (x+y)(2−x)=(1+xy)(1−2x) 2x−x^2 +2y−xy=1−2x+xy−2x^2 y −x^2 +4x−1= 2xy−2y−2x^2 y −x^2 +4x−1=y(2x−2−2x^2 ) ⇒ y = ((4x−x^2 −1)/(2x−2−2x^2 )) (ii) by eq (i) and (ii) ⇒ ((4x−x^2 −1)/(2x−2−2x^2 )) = ((6x−x^2 −1)/(3x^2 −2x+3)) ⇒ (4x−x^2 −1)(3x^2 −2x+3) = (6x−x^2 −1)(2x−2−2x^2 ) ⇒ 12x^3 −8x^2 +12x−3x^4 +2x^3 −3x^2 −3x^2 +2x−3 = 12x^2 −12x−12x^3 −2x^3 +2x^2 +2x^4 −2x+2+2x^2 ⇒ −5x^4 +28x^3 −30x^2 +28x−5=0 please help for −5x^4 +28x^3 −30x^2 +28x−5=0
$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{1}−\mathrm{3x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{xy}\right) \\ $$$$\mathrm{3x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}+\mathrm{xy}=\mathrm{1}−\mathrm{xy}−\mathrm{3x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y} \\ $$$$−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}=−\mathrm{2xy}+\mathrm{3y}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}+\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}−\mathrm{1}=\mathrm{y}\left(−\mathrm{2x}+\mathrm{3}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{y}=\:\frac{\mathrm{6x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\:\:\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{way} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{second}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{1}+\mathrm{xy}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}−\mathrm{xy}=\mathrm{1}−\mathrm{2x}+\mathrm{xy}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y} \\ $$$$−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}−\mathrm{1}=\:\mathrm{2xy}−\mathrm{2y}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y} \\ $$$$−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}−\mathrm{1}=\mathrm{y}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\Rightarrow\:\mathrm{y}\:=\:\frac{\mathrm{4x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{2}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }\:\:\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{eq}\:\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{4x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{2}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }\: \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{6x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\:\: \\ $$$$\:\:\Rightarrow\:\:\left(\mathrm{4x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\left(\mathrm{6x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{12x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{8x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12x}−\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12x}−\mathrm{12x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:−\mathrm{5x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{28x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{30x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{28x}−\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{please}\:\mathrm{help}\:\mathrm{for} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:−\mathrm{5x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{28x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{30x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{28x}−\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mind is power last updated on 24/Dec/19
x=coth(a) y=coth(b) coth hase range of ]−∞,+∞[ ⇒ we can use this sbstitution ⇒((x−y)/(1−xy))=coth(a−b) ((x+y)/(1+xy))=coth(a+b) let vothc=((1/3)) ((1−3x)/(3−x))=(((1/3)−x)/(1−(1/3).x))=((coth(c)−coth(a))/(1−coth(c)coth(a)))=th(c−a) coth(d)=(1/2) ⇒((1−2x)/(2−x))=(((1/2)−x)/(1−(1/2).x))=((coth(d)−coth(a))/(1−coth(a).coth(d)))=coth(d−a) ⇔ { ((coth(a−b)=coth(c−a))),((coth(a+b)=coth(d−a))) :} coth(x)=coth(y)⇔x=y since coth′(x)=((−1)/(sh^2 (x)))<0 ⇒ { ((a−b=c−a)),((a+b=d−a)) :} ⇒ { ((2a−b=c)),((2a+b=d)) :} b=((d−c)/2) a=((d−b)/2)
$$\mathrm{x}=\mathrm{coth}\left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{coth}\left(\mathrm{b}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{coth}\:\mathrm{hase}\:\mathrm{range}\:\mathrm{of}\:\right]−\infty,+\infty\left[\:\right. \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{use}\:\mathrm{this}\:\mathrm{sbstitution} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}−\mathrm{y}}{\mathrm{1}−\mathrm{xy}}=\mathrm{coth}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{\mathrm{1}+\mathrm{xy}}=\mathrm{coth}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{vothc}=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}−\mathrm{3x}}{\mathrm{3}−\mathrm{x}}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}.\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{coth}\left(\mathrm{c}\right)−\mathrm{coth}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{coth}\left(\mathrm{c}\right)\mathrm{coth}\left(\mathrm{a}\right)}=\mathrm{th}\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right) \\ $$$$\mathrm{coth}\left(\mathrm{d}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2x}}{\mathrm{2}−\mathrm{x}}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{coth}\left(\mathrm{d}\right)−\mathrm{coth}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{coth}\left(\mathrm{a}\right).\mathrm{coth}\left(\mathrm{d}\right)}=\mathrm{coth}\left(\mathrm{d}−\mathrm{a}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{coth}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)=\mathrm{coth}\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)}\\{\mathrm{coth}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)=\mathrm{coth}\left(\mathrm{d}−\mathrm{a}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{coth}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{coth}\left(\mathrm{y}\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}\:\:\mathrm{since}\:\mathrm{coth}'\left(\mathrm{x}\right)=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)}<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}−\mathrm{b}=\mathrm{c}−\mathrm{a}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{d}−\mathrm{a}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{2a}−\mathrm{b}=\mathrm{c}}\\{\mathrm{2a}+\mathrm{b}=\mathrm{d}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{b}=\frac{\mathrm{d}−\mathrm{c}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{d}−\mathrm{b}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by Master last updated on 25/Dec/19
thanks
$$\mathrm{thanks} \\ $$

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