Question Number 76323 by aliesam last updated on 26/Dec/19
Commented by mind is power last updated on 27/Dec/19
$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\int\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{part} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} }{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int\mathrm{ncos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{aI}_{\mathrm{n}} =\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} +\mathrm{n}\int\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{part}\:\mathrm{withe}\:\mathrm{u}'=\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} ,\mathrm{v}=\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{v}'=−\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{u}=\int\mathrm{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}\left(\mathrm{i}+\mathrm{a}\right)} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{Im}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} .\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }{\mathrm{i}+\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{u}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{aI}_{\mathrm{n}} =\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} +\mathrm{n}\left[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right]+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\int\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right).\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\left.\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} +\mathrm{ne}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{asin}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\int\mathrm{acos}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}−\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\int\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{dx} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{n}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{nasin}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{aI}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{an}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} −\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\int\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{dx} \\ $$$$\int\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} =−\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} }{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{n}}\int\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} }{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{aI}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{nasin}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{aI}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{an}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} −\mathrm{a}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} +\mathrm{a}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} +\mathrm{an}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{an}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{an}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{acos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{nsin}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{a}}\right)+\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by aliesam last updated on 27/Dec/19
$${thank}\:{you}\:{sir}\:.\:{nice}\:{work} \\ $$