Question Number 7668 by 314159 last updated on 08/Sep/16
Commented by Yozzia last updated on 08/Sep/16
$${Suppose}\:{a}+{b}={c},\:{with}\:{a},{b},{c}>\mathrm{0}. \\ $$$${Let}\:{n}=\frac{{a}}{\mathrm{1}+{a}}+\frac{{b}}{\mathrm{1}+{b}}−\frac{{c}}{\mathrm{1}+{c}}. \\ $$$${n}=\frac{{a}}{\mathrm{1}+{a}}+\frac{{b}}{\mathrm{1}+{b}}−\frac{{a}+{b}}{\mathrm{1}+{a}+{b}} \\ $$$${n}=\frac{{a}}{\mathrm{1}+{a}}−\frac{{a}}{\mathrm{1}+{a}+{b}}+\frac{{b}}{\mathrm{1}+{b}}−\frac{{b}}{\mathrm{1}+{a}+{b}} \\ $$$${n}={a}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{a}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{a}+{b}}\right)+{b}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{b}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{a}+{b}}\right) \\ $$$${n}=\frac{{ab}}{\left(\mathrm{1}+{a}\right)\left(\mathrm{1}+{a}+{b}\right)}+\frac{{ab}}{\left(\mathrm{1}+{b}\right)\left(\mathrm{1}+{a}+{b}\right)} \\ $$$${Since}\:{a},{b}>\mathrm{0}\Rightarrow{ab},\left(\mathrm{1}+{a}\right),\left(\mathrm{1}+{b}\right),\left(\mathrm{1}+{a}+{b}\right)>\mathrm{0}. \\ $$$$\Rightarrow{n}>\mathrm{0}\Rightarrow\frac{{a}}{\mathrm{1}+{a}}+\frac{{b}}{\mathrm{1}+{b}}−\frac{{c}}{\mathrm{1}+{c}}>\mathrm{0}\Rightarrow\frac{{a}}{\mathrm{1}+{a}}+\frac{{b}}{\mathrm{1}+{b}}>\frac{{c}}{\mathrm{1}+{c}} \\ $$$$−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− \\ $$$${Suppose}\:{a}+{b}>{c},\:{with}\:\:{a},{b},{c}>\mathrm{0}. \\ $$$${a}+{b}+{ab}+\mathrm{1}>{c}+{ab}+\mathrm{1}>{c}+\mathrm{1}\:\:\because\:{a},{b}>\mathrm{0}. \\ $$$$\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}+\mathrm{1}\right)>{c}+\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}+\mathrm{1}\right)}<\frac{\mathrm{1}}{{c}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}+\mathrm{1}\right)}>\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{c}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{a}+{b}+{ab}+\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}+\mathrm{1}\right)}>\frac{{c}+\mathrm{1}−\mathrm{1}}{{c}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{a}+{b}+{ab}}{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}+\mathrm{1}\right)}>\frac{{c}}{{c}+\mathrm{1}} \\ $$$${But},\:{a},{b}>\mathrm{0}\Rightarrow{a}+{b}+\mathrm{2}{ab}>{a}+{b}+{ab}. \\ $$$$\therefore\frac{{a}+{b}+\mathrm{2}{ab}}{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}+\mathrm{1}\right)}>\frac{{a}+{b}+{ab}}{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}+\mathrm{1}\right)}>\frac{{c}}{{c}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{a}\left({b}+\mathrm{1}\right)+{b}\left({a}+\mathrm{1}\right)}{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}+\mathrm{1}\right)}>\frac{{c}}{{c}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{a}\left({b}+\mathrm{1}\right)}{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}+\mathrm{1}\right)}+\frac{{b}\left({a}+\mathrm{1}\right)}{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}+\mathrm{1}\right)}>\frac{{c}}{{c}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{a}}{{a}+\mathrm{1}}+\frac{{b}}{{b}+\mathrm{1}}>\frac{{c}}{{c}+\mathrm{1}} \\ $$$$−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− \\ $$$${In}\:{all},\:\:{if}\:{a},{b},{c}>\mathrm{0}\:{and}\:{a}+{b}\geqslant{c},\:{then} \\ $$$$\frac{{a}}{{a}+\mathrm{1}}+\frac{{b}}{{b}+\mathrm{1}}>\frac{{c}}{{c}+\mathrm{1}}.\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\://// \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by Yozzia last updated on 08/Sep/16
$${Suppose}\:{that}\:{a}\left({n}\right)>\mathrm{0}\:{for}\:\forall{n}\in\mathbb{N},\:{and} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{a}\left({n}\right)\geqslant{a}\left({m}+\mathrm{1}\right),\:{m}\in\mathbb{N}.\:{Is}\:{it}\:{true} \\ $$$${that}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{{a}\left({n}\right)}{{a}\left({n}\right)+\mathrm{1}}>\frac{{a}\left({m}+\mathrm{1}\right)}{{a}\left({m}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}\:\forall{m}\geqslant\mathrm{2}\:? \\ $$$$−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− \\ $$$${Let}\:{p}\left({m}\right)\:{be}\:{the}\:{proposition}\:{that},\:\forall{m}\geqslant\mathrm{2}, \\ $$$${m}\in\mathbb{N},\:{that}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{{a}\left({n}\right)}{{a}\left({n}\right)+\mathrm{1}}>\frac{{a}\left({m}+\mathrm{1}\right)}{{a}\left({m}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}} \\ $$$${for}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}{a}\left({n}\right)\geqslant{a}\left({m}+\mathrm{1}\right)\:{and}\:{a}\left({n}\right)>\mathrm{0}\:\forall{n}\in\mathbb{N}. \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right){Let}\:{m}=\mathrm{2}.\:{Then},\:{a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)\geqslant{a}\left(\mathrm{3}\right). \\ $$$$\left(\mathrm{1}{i}\right){Suppose}\:{that}\:{a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)={a}\left(\mathrm{3}\right)\:{and} \\ $$$${let}\:{q}=\frac{{a}\left(\mathrm{1}\right)}{{a}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}+\frac{{a}\left(\mathrm{2}\right)}{{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}}−\frac{{a}\left(\mathrm{3}\right)}{{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}}. \\ $$$${Then},\:{q}=\frac{{a}\left(\mathrm{1}\right)}{{a}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}+\frac{{a}\left(\mathrm{2}\right)}{{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}}−\frac{{a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)}{{a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}} \\ $$$${q}={a}\left(\mathrm{1}\right)\left\{\frac{\mathrm{1}}{{a}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}}\right\}+{a}\left(\mathrm{2}\right)\left\{\frac{\mathrm{1}}{{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}}\right\} \\ $$$${q}=\frac{{a}\left(\mathrm{1}\right){a}\left(\mathrm{2}\right)}{\left({a}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)\left({a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\right)}+\frac{{a}\left(\mathrm{2}\right){a}\left(\mathrm{1}\right)}{\left({a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\right)\left({a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\right)} \\ $$$${Since}\:{a}\left(\mathrm{1}\right),{a}\left(\mathrm{2}\right)>\mathrm{0}\Rightarrow\:{a}\left(\mathrm{1}\right){a}\left(\mathrm{2}\right)>\mathrm{0}, \\ $$$${a}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}>\mathrm{0},\:{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}>\mathrm{0},\:{a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}>\mathrm{0}. \\ $$$${Hence}\:{q}>\mathrm{0}\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}} {\sum}}\frac{{a}\left({n}\right)}{{a}\left({n}\right)+\mathrm{1}}−\frac{{a}\left(\mathrm{3}\right)}{{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}}>\mathrm{0}\: \\ $$$${or}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}} {\sum}}\frac{{a}\left({n}\right)}{{a}\left({n}\right)+\mathrm{1}}>\frac{{a}\left(\mathrm{3}\right)}{{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}}. \\ $$$$\left(\mathrm{1}{ii}\right){Suppose}\:{that}\:{a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)>{a}\left(\mathrm{3}\right). \\ $$$${Then},\:{a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}+{a}\left(\mathrm{1}\right){a}\left(\mathrm{2}\right)>{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}+{a}\left(\mathrm{1}\right){a}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\because\:{a}\left(\mathrm{1}\right),{a}\left(\mathrm{2}\right)>\mathrm{0}\Rightarrow{a}\left(\mathrm{3}\right)+{a}\left(\mathrm{1}\right){a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}>{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\therefore\left({a}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)\left({a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\right)>{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\left({a}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)\left({a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\right)}<\frac{\mathrm{1}}{{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{a}\left(\mathrm{1}\right){a}\left(\mathrm{2}\right)+{a}\left(\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}}>\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{a}\left(\mathrm{1}\right){a}\left(\mathrm{2}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+{a}\left(\mathrm{1}\right)}{\left({a}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)\left({a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\right)}>\frac{{a}\left(\mathrm{3}\right)}{{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}} \\ $$$$\because\:{a}\left(\mathrm{1}\right),{a}\left(\mathrm{2}\right)>\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{2}{a}\left(\mathrm{1}\right){a}\left(\mathrm{2}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+{a}\left(\mathrm{1}\right)>{a}\left(\mathrm{1}\right){a}\left(\mathrm{2}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+{a}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\therefore\frac{\mathrm{2}{a}\left(\mathrm{1}\right){a}\left(\mathrm{2}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)+{a}\left(\mathrm{1}\right)}{\left({a}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)\left({a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\right)}>\frac{{a}\left(\mathrm{3}\right)}{{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{a}\left(\mathrm{1}\right)\left({a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\right)+{a}\left(\mathrm{2}\right)\left({a}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)}{\left({a}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)\left({a}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\right)}>\frac{{a}\left(\mathrm{3}\right)}{{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}} {\sum}}\frac{{a}\left({n}\right)}{{a}\left({n}\right)+\mathrm{1}}>\frac{{a}\left(\mathrm{3}\right)}{{a}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}} \\ $$$${Therefore}\:{p}\left({m}\right)\:{is}\:{true}\:{when}\:{m}=\mathrm{2}. \\ $$$$−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− \\ $$$${Assume}\:{p}\left({m}\right)\:{is}\:{true}\:{when}\:{m}={k}, \\ $$$${i}.{e}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\frac{{a}\left({n}\right)}{{a}\left({n}\right)+\mathrm{1}}>\frac{{a}\left({k}+\mathrm{1}\right)}{{a}\left({k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}} \\ $$$${if}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}{a}\left({n}\right)\geqslant{a}\left({k}+\mathrm{1}\right). \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right){Let}\:{m}={k}+\mathrm{1}.\:\therefore\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{k}+\mathrm{1}} {\sum}}{a}\left({n}\right)\geqslant{a}\left({k}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left({continue}\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by 314159 last updated on 08/Sep/16
$${Thanks} \\ $$