Question Number 8252 by 8168 last updated on 04/Oct/16
Answered by Yozzias last updated on 04/Oct/16
$$\mathrm{6}+\mathrm{4}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}+… \\ $$$$=\mathrm{6}+\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{0}} }+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+…+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }+…\right) \\ $$$$=\mathrm{6}+\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$=\mathrm{6}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{−\mathrm{1}} }\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{6}+\mathrm{6}×\frac{\mathrm{2}/\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\mathrm{6}+\mathrm{6}×\frac{\mathrm{2}/\mathrm{3}}{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{6}+\mathrm{4}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}+…=\mathrm{18} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{is}\:\mathrm{convergent}\:\mathrm{and}\:\mathrm{hence} \\ $$$$\mathrm{bounded}\:\mathrm{and}\:\mathrm{monotone}. \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{s}\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{6}+\mathrm{6}\underset{\mathrm{r}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{r}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{s}\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{6}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} >\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)>\mathrm{s}\left(\mathrm{n}\right)\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{n}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{increasing} \\ $$$$\mathrm{sequence}\:\mathrm{of}\:\mathrm{partial}\:\mathrm{sums}. \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{s}\left(\mathrm{n}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{increasing}\:\mathrm{and}\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}s}\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{18} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{s}\left(\mathrm{n}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{bounded}\:\mathrm{above}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{n}\right)\leqslant\mathrm{18}\:\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N}. \\ $$$$ \\ $$