Question Number 8259 by 314159 last updated on 04/Oct/16
Answered by Yozzias last updated on 04/Oct/16
$$\mathrm{Let}\:\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} \:\:\left(\mathrm{n}\in\mathbb{N},\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} +\mathrm{C}_{\mathrm{3}} +\mathrm{C}_{\mathrm{4}} +…+\mathrm{C}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} =\left(\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} +\mathrm{C}_{\mathrm{3}} +\mathrm{C}_{\mathrm{4}} +…+\mathrm{C}_{\mathrm{n}} \right)^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{Root}\:\mathrm{Mean}\:\mathrm{Square}\:\mathrm{Inequality} \\ $$$$\mathrm{states}\:\mathrm{that}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}_{\mathrm{i}} >\mathrm{0}\:\left(\mathrm{i}=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},…,\mathrm{n}\right), \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sqrt{\frac{\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{x}_{\mathrm{i}} ^{\mathrm{2}} }{\mathrm{n}}}\geqslant\frac{\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{x}_{\mathrm{i}} }{\mathrm{n}}. \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}_{\mathrm{i}} =\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{i}} }\:. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sqrt{\frac{\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{i}} }\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{n}}}\geqslant\frac{\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{i}} }}{\mathrm{n}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} +\mathrm{C}_{\mathrm{3}} +…+\mathrm{C}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \geqslant\frac{\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{1}} }+\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{2}} }+\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{3}} }+…+\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{n}} }}{\mathrm{n}} \\ $$$$×\mathrm{n}\Rightarrow\left(\mathrm{n}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} +\mathrm{C}_{\mathrm{3}} +…+\mathrm{C}_{\mathrm{n}} \right)\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \geqslant\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{1}} }+\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{2}} }+\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{3}} }+…+\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{n}} } \\ $$$$\mathrm{But}\:\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} =\left(\mathrm{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} +\mathrm{C}_{\mathrm{3}} +\mathrm{C}_{\mathrm{4}} +…+\mathrm{C}_{\mathrm{n}} \right)^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} . \\ $$$$\therefore\:\left(\mathrm{n}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \geqslant\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{1}} }+\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{2}} }+\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{3}} }+…+\sqrt{\mathrm{C}_{\mathrm{n}} }. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$