Question Number 9403 by alfat123 last updated on 05/Dec/16
Answered by ridwan balatif last updated on 05/Dec/16
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{5x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{6}} \mathrm{dx}=\mathrm{u}.\mathrm{v}−\int\mathrm{vdu} \\ $$$$\mathrm{misal}:\:\mathrm{u}=\mathrm{5x}\rightarrow\mathrm{du}=\mathrm{5dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{dv}=\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{6}} \mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int\mathrm{dv}=\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{6}} \mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{v}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} \\ $$$$\mathrm{maka},\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{5x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{6}} =\left(\left(\mathrm{5x}\right).\left(\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} \right)−\left(\int−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} \mathrm{5dx}\right)\right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(−\frac{\mathrm{5x}}{\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} −\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{56}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{8}} \right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} \left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right)\right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{56}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{7}} \left(\mathrm{7x}+\mathrm{1}\right)\right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{56}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by ridwan balatif last updated on 05/Dec/16
$$\int\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{xdx}=\int\left(\mathrm{cosx}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{xdx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\int\mathrm{cosx}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\int\mathrm{cosdx}\:−\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}…\left(\ast\right) \\ $$$$\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}=\mathrm{u}.\mathrm{v}−\int\mathrm{vdu} \\ $$$$\mathrm{misal}:\mathrm{u}=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\rightarrow\mathrm{du}=\mathrm{2sinxcosxdx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{dv}=\mathrm{cosxdx}\rightarrow\mathrm{v}=\mathrm{sinx} \\ $$$$\:\:\:\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}=\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\int\mathrm{sinx}\left(\mathrm{2sinxcosx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}=\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\mathrm{2}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx} \\ $$$$\mathrm{3}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}=\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{C}…\left(\ast\ast\right) \\ $$$$\mathrm{substitusi}\:\mathrm{nilai}\:\mathrm{dari}\:\mathrm{persamaan}\:\left(\ast\ast\right)\:\mathrm{ke}\:\mathrm{persamaan}\:\left(\ast\right) \\ $$$$\:\int\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{xdx}=\int\mathrm{cosxdx}−\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosxdx}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{sinx}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{C}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{sinx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{C} \\ $$