Question Number 9824 by j.masanja06@gmail.com last updated on 06/Jan/17
Answered by sandy_suhendra last updated on 06/Jan/17
$$\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{AP}\:: \\ $$$$\mathrm{P}=\mathrm{a}−\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{2Q}=\mathrm{a}\:\Rightarrow\:\mathrm{Q}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{R}=\mathrm{a}+\mathrm{b} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{GP}\:: \\ $$$$\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{Q}}=\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{R}} \\ $$$$\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}}\:=\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}}{\mathrm{a}−\mathrm{b}} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{b}\:=\:\pm\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{if}\:\:\:\mathrm{b}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:\mathrm{r}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{Q}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{3}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}}\:=\:\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{if}\:\:\:\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:\mathrm{r}=\frac{\mathrm{a}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{3}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}}\:=\:\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$
Commented by j.masanja06@gmail.com last updated on 11/Jan/17
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by sandy_suhendra last updated on 06/Jan/17
$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{possible}\:\mathrm{for}\:\mathrm{P},\mathrm{Q}\:\mathrm{and}\:\mathrm{R} \\ $$$$\mathrm{r}=\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:\mathrm{P}=\mathrm{1}\:,\:\mathrm{Q}=\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\:,\:\mathrm{R}=\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{r}=\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:\mathrm{P}=\mathrm{1}\:,\:\mathrm{Q}=\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\:,\:\mathrm{R}=\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$