Question Number 136070 by Dwaipayan Shikari last updated on 18/Mar/21
$$\frac{{sin}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{1}^{\mathrm{3}} }+\frac{{sin}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+\frac{{sin}\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }+…=\frac{\pi^{{b}} +\mathrm{1}}{\:{a}\sqrt{{b}}}−\frac{\pi}{{b}} \\ $$$${Find}\:{a}−{b} \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 18/Mar/21
$$\:\:\Omega\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{sin}\left({nx}\right)}{{n}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\:−{Im}\left({ln}\left(\mathrm{1}−{e}^{{ix}} \right)\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\sum}=\infty\frac{{sin}\left({nx}\right)}{{n}} \\ $$$$\:\:\:−{Imln}\left(\left(\mathrm{1}−{cos}\left({x}\right)\right)−{isin}\left({x}\right)\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{sin}\left({nx}\right)}{{n}} \\ $$$$−{Im}\left\{{ln}\left(\mathrm{2}{sin}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)−{itan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{sin}\left({x}\right)}{\mathrm{1}−{cos}\left({x}\right)}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{sin}\left({nx}\right)}{{n}=\mathrm{1}}\right.\right. \\ $$$$\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{sin}\left({nx}\right)}{{n}} \\ $$$$\:\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}{x}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}=−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{cos}\left({nx}\right)}{{n}^{\mathrm{2}} }+{C} \\ $$$$\:\:{x}=\pi \\ $$$$\:\:\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+{C}\Rightarrow{C}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\frac{\pi}{\mathrm{2}}{x}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{cos}\left({nx}\right)}{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}{x}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{12}}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}{x}^{\mathrm{2}} =\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{sin}\left({nx}\right)}{{n}^{\mathrm{3}} } \\ $$$${x}=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{sin}\left({n}\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{{n}^{\mathrm{3}} }=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\sqrt{\mathrm{2}}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{6}}−\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Omega=\frac{\pi^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{hence}\:::\:\:{a}−{b}=\mathrm{3}−\mathrm{2}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{please}\:{check}\:\:{my}\:{solution}…. \\ $$$$\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 18/Mar/21
$${Great}\:{sir}! \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 18/Mar/21
$${thank}\:{you}\:{for}\:{your}\:{nice}\:{questions}… \\ $$