Question Number 141383 by Willson last updated on 18/May/21
$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$
Answered by mr W last updated on 18/May/21
$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\left(\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \:\left(\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{1}=\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left({f}\left({x}\right)\right)=\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left({x}\right)=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}\right) \\ $$