Question Number 131961 by Zack_ last updated on 10/Feb/21
$$\int\left({sin}^{\mathrm{4}} {x}.{cos}^{\mathrm{4}} {x}\right){dx} \\ $$
Answered by liberty last updated on 10/Feb/21
$$\mathrm{I}=\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2x}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{x}−\mathrm{2}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \mathrm{2x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{16}}\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\:\mathrm{4x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{4x}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{your}\:\mathrm{can}\:\mathrm{finished}\:\mathrm{its} \\ $$
Answered by mr W last updated on 10/Feb/21
$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{4}} {dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{4}} {dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}\int\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{2}} {dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\right)^{\mathrm{2}} {dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{4}{x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{4}{x}\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{4}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{4}{x}\right)\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{4}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{8}{x}\right)\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}\int\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{4}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{8}{x}\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\:\mathrm{8}{x}\right)+{C} \\ $$