Question Number 134694 by Engr_Jidda last updated on 06/Mar/21
$$\int{sin}^{\mathrm{4}} {xdx} \\ $$
Answered by john_santu last updated on 06/Mar/21
$$\mathcal{J}\:=\:\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{2}} {dx} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{2}} \:{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\right){dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}\:+\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\:+\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{x}}{\mathrm{8}}\right)\:+\:{c} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{8}}\:+\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{4}}\:+\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{4}{x}}{\mathrm{32}}\:+\:{c}\: \\ $$