Question Number 134479 by abdullahquwatan last updated on 04/Mar/21
$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}=\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{0}<\mathrm{x}<\pi \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 14/Mar/21
$$\mathrm{sin}\:\mathrm{3x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{2sin}\:\mathrm{2x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\left(\bullet\right)\mathrm{2sin}\:\mathrm{2x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}\:=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right)−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{cos}\:\:\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:,\:\mathrm{x}=\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{2sin}\:\mathrm{xcos}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{0}\:\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{0}\:;\:\mathrm{x}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}};\:\mathrm{x}=\frac{\pi}{\mathrm{6}},\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{6}}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$