Question Number 71570 by TawaTawa last updated on 17/Oct/19
$$\mathrm{Solve}:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{2x}\:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{y}''\:−\:\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\:+\:\mathrm{x}\right)\mathrm{y}'\:+\:\mathrm{2y}\:\:=\:\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Given}\:\:\mathrm{y}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{solution}. \\ $$
Answered by mind is power last updated on 17/Oct/19
$$\mathrm{y}=\mathrm{zx}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}'=\mathrm{2xz}+\mathrm{z}'\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}''=\mathrm{2z}+\mathrm{4xz}'+\mathrm{z}''\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{2x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{y}''−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\mathrm{y}'+\mathrm{2y}=\left(\mathrm{2x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{2z}+\mathrm{4xz}'+\mathrm{z}''\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{2xz}+\mathrm{z}'\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}−\mathrm{4x}−\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{z}+\left(\mathrm{2x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}''+\left(\mathrm{8x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \right)\mathrm{z}'=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right)\mathrm{z}''+\left(\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \right)\mathrm{z}'=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}\right)\mathrm{z}''+\mathrm{2}\left(\mathrm{3}+\mathrm{x}\right)\mathrm{z}'=\mathrm{0}..\forall\mathrm{x}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Y}=\mathrm{z}' \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}\right)\mathrm{Y}'+\mathrm{2}\left(\mathrm{3}+\mathrm{x}\right)\mathrm{Y}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{Y}'}{\mathrm{Y}}=\frac{\mathrm{6}+\mathrm{2x}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{Y}\mid=\mathrm{3ln}\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid \\ $$$$\mathrm{ln}\mid\mathrm{Y}\mid=\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\mid+\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow\mid\mathrm{Y}\mid=\mathrm{k}.\mid\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\mid \\ $$$$\mathrm{Y}=\mathrm{c}.\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{x}+\mathrm{2}}….\mathrm{c}=\underset{−} {+}\mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{z}'=\mathrm{c}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{x}+\mathrm{2}}=\mathrm{c}\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{4}\right)−\mathrm{8}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{z}'=\mathrm{c}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{4}\right)−\frac{\mathrm{8c}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{c}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}\right)−\mathrm{8cln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid+\mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{zx}^{\mathrm{2}} =\mathrm{c}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{3}}−\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} \right)+\mathrm{kx}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8cx}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid \\ $$$$\mathrm{c},\mathrm{k}\:\mathrm{constante} \\ $$$$\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{iner}\:\mathrm{space}\:\mathrm{of}\:\mathrm{TWo}\:\mathrm{Dimensiln}\:\mathrm{S}=\mathrm{vect}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{3}}−\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{8ln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid,\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by TawaTawa last updated on 17/Oct/19
$$\mathrm{Wow},\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by mind is power last updated on 17/Oct/19
$$\mathrm{y}'\mathrm{re}\:\mathrm{welcom} \\ $$