Solve-D-2-3D-2-y-2x-3-by-operator-D-method-

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Question Number 131253 by bramlexs22 last updated on 03/Feb/21

$$Solve(D^2-3D+2)y=2x^3$$$$byoperatorDmethod$$

Answered by liberty last updated on 03/Feb/21

$${\mathrm{y}}_{\mathrm{h}}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{C}}_1{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{C}}_2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}$$$$\mathrm{and}\mathrm{we}\mathrm{may}\mathrm{use}\mathrm{a}\mathrm{trial}\mathrm{function}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{form}$$$${ax}^3+{bx}^2+cx+d\mathrm{to}\mathrm{find}\mathrm{a}\mathrm{particular}\mathrm{solution}$$$$\mathrm{and}\mathrm{we}\mathrm{get}{\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3+\frac{{9\mathrm{x}}^2}{2}+\frac{21\mathrm{x}}{2}+\frac{45}{4}$$$$\mathrm{then}\mathrm{general}\mathrm{solution}\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{y}}_{\mathrm{h}}\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}\right)$$$$\mathrm{However}\mathrm{a}\mathrm{more}\mathrm{direct}\mathrm{approach}\mathrm{to}\mathrm{find}$$$$\mathrm{this}\mathrm{particular}\mathrm{solution}\mathrm{is}\mathrm{possible}\mathrm{as}\mathrm{well}$$$$\mathrm{consider}\frac{1}{1-\mathrm{x}}=\underset{\mathrm{k}=0}{\sum ^{\mathrm{\infty }}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}},\mathrm{plug}\mathrm{in}\mathrm{x}=\mathrm{D}$$$$\frac{1}{1-\mathrm{D}}=\underset{\mathrm{k}=0}{\sum ^{\mathrm{\infty }}}{\mathrm{D}}^{\mathrm{k}}.\mathrm{If}\mathrm{we}\mathrm{apply}\mathrm{this}\mathrm{operator}$$$$\mathrm{to}{2\mathrm{x}}^3\mathrm{we}\mathrm{find}\mathrm{that}{\mathrm{D}}^{\mathrm{k}}\left({2\mathrm{x}}^3\right)=0\mathrm{for}\mathrm{k}>3$$$$\mathrm{so}\frac{1}{1-\mathrm{D}}\left({2\mathrm{x}}^3\right)=(1+\mathrm{D}+{\mathrm{D}}^2+{\mathrm{D}}^3)\left({2\mathrm{x}}^3\right)$$$$={2\mathrm{x}}^3+{6\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+12$$$$\mathrm{Now}{\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{(\mathrm{D}-1)(\mathrm{D}-2)}\left({2\mathrm{x}}^3\right)=\frac{1}{(1-\mathrm{D})(2-\mathrm{D})}\left({2\mathrm{x}}^3\right)$$$${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{2-\mathrm{D}}({2\mathrm{x}}^3+{6\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+12)$$$${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{1-\left(\frac{\mathrm{D}}{2}\right)}({\mathrm{x}}^3+{3\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+6)$$$${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}\right)=(1+\frac{\mathrm{D}}{2}+\frac{{\mathrm{D}}^2}{4}+\frac{{\mathrm{D}}^3}{8})({\mathrm{x}}^3+{3\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+6)$$$${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3+{3\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+6+\frac{{3\mathrm{x}}^2}{2}+3\mathrm{x}+3+\frac{3\mathrm{x}}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}$$$$={\mathrm{x}}^3+\frac{{9\mathrm{x}}^2}{2}+\frac{21\mathrm{x}}{2}+\frac{45}{4}$$

Answered by Ar Brandon last updated on 03/Feb/21

$${\mathrm{y}}^{″}-{3\mathrm{y}}^{\prime }+2\mathrm{y}={2\mathrm{x}}^3$$$$\mathrm{HE}:{\mathrm{m}}^2-3\mathrm{m}+2=0,\mathrm{m}=2,\mathrm{m}=1$$$${\mathrm{y}}_{\mathrm{gh}}={\mathrm{Ae}}^{2\mathrm{x}}+{\mathrm{Be}}^{\mathrm{x}}$$$${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}=\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+\mathrm{B}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=\mathrm{au}+\mathrm{bv}$$$$\{\begin{array}{ll}{\mathrm{a}}^{\prime }\mathrm{u}+{\mathrm{b}}^{\prime }\mathrm{v}=0& \dots \left(1\right)\\ {\mathrm{a}}^{\prime }{\mathrm{u}}^{\prime }+{\mathrm{b}}^{\prime }{\mathrm{v}}^{\prime }={2\mathrm{x}}^3& \dots \left(2\right)\end{array}$$$$\mathrm{W}(\mathrm{u},\mathrm{v})=\left|\begin{array}{cc}\mathrm{u}& \mathrm{v}\\ {\mathrm{u}}^{\prime }& {\mathrm{v}}^{\prime }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}& {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\\ {2\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}& {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\end{array}\right|=-{\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}$$$${\mathrm{W}}_{\mathrm{u}}=\left|\begin{array}{cc}0& {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\\ {2\mathrm{x}}^3& {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\end{array}\right|=-{2\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}},{\mathrm{W}}_{\mathrm{v}}=\left|\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}& 0\\ {2\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}& {2\mathrm{x}}^3\end{array}\right|={2\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}$$$$\mathrm{a}=\int \frac{{\mathrm{W}}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{W}}\mathrm{dx}=\int {2\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\mathrm{dx}=2\{-\frac{{\mathrm{x}}^3}{2}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+\frac{3}{2}\int {\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\mathrm{dx}\}$$$$=-{\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+3\{-\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+\int {\mathrm{xe}}^{-2\mathrm{x}}\mathrm{dx}\}$$$$=-{\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}-\frac{{3\mathrm{x}}^2}{2}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+3\{-\frac{\mathrm{x}}{2}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+\frac{1}{2}\int {\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\mathrm{dx}\}$$$$=-{\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}-\frac{{3\mathrm{x}}^2}{2}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}-\frac{3\mathrm{x}}{2}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}-\frac{3}{4}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+{\mathrm{C}}_1$$$$\mathrm{b}=\int \frac{{\mathrm{W}}_{\mathrm{v}}}{\mathrm{W}}\mathrm{dx}=-\int {2\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\frac{}{}\mathrm{dx}=-2\{-{\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+3\int {\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{dx}\}$$$$={2\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}-6\{-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+2\int {\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{dx}\}$$$$={2\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+{6\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}-12\{-{\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}+\int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{dx}\}$$$$={2\mathrm{x}}^3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+{6\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+{12\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}+{12\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+{\mathrm{C}}_2$$$${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}=\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+\mathrm{B}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}},{\mathrm{Y}}_{\mathrm{G}}={\mathrm{y}}_{\mathrm{gh}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}$$$${\mathrm{Y}}_{\mathrm{G}}=\alpha {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+\beta {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-({\mathrm{x}}^3+\frac{{3\mathrm{x}}^2}{2}+\frac{3\mathrm{x}}{2}+\frac{3}{4})+({2\mathrm{x}}^3+{6\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+12)$$$$=\alpha {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+\beta {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{x}}^3+\frac{{9\mathrm{x}}^2}{2}+\frac{21\mathrm{x}}{2}+\frac{45}{4}$$

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