Question Number 76964 by peter frank last updated on 01/Jan/20
$${solve}\:{Differential}\:\:{equation} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dx}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{4}{x}\frac{{dy}}{{dx}}+\mathrm{3}{y}={x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{5} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 02/Jan/20
$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{4x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{3y}=\mathrm{0}..\mathrm{E} \\ $$$$\mathrm{theorie}\:\mathrm{of}\:\mathrm{linear}\:\mathrm{algebra}\:\mathrm{applied}\:\mathrm{in}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\mathrm{that}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\mathrm{linear}\:\mathrm{Differtionsl}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{forme}\:\mathrm{vectoriel}\:\mathrm{subspace}\:\mathrm{of}\:\mathrm{dim}\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{m}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\left(\mathrm{m}\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{4m}+\mathrm{3}\right)=\mathrm{0}\right. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5m}+\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{m}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}},\mathrm{m}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}}} \:\:\:\mathrm{are}\:\mathrm{independente}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{Bases}\:\mathrm{of}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{of}\:\mathrm{E} \\ $$$$\mathrm{General}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\mathrm{E}\:\mathrm{is}\:,\forall\mathrm{y}\in\mathrm{E}\:\exists!\:\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in\mathbb{R}^{\mathrm{2}} \mid\mathrm{y}=\mathrm{ax}^{\frac{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}}} +\mathrm{bx}^{\frac{\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{particulare}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}^{\mathrm{3}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{cx}+\mathrm{d} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{6a}−\mathrm{12a}+\mathrm{3a}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{2b}−\mathrm{8b}+\mathrm{3b}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(−\mathrm{4c}+\mathrm{3c}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{3d}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{a}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{c}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{d}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}−\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Y}=\mathrm{ax}^{\frac{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}}} +\mathrm{bx}^{\frac{\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}}} \:\:\:\frac{−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6x}+\mathrm{5}}{\mathrm{3}},\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\in\mathbb{R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by peter frank last updated on 03/Jan/20
$${thank}\:{you} \\ $$
Commented by peter frank last updated on 03/Jan/20
$${where}\:{this}\:\mathrm{6}{a}−\mathrm{12}{a}+\mathrm{3}{a}\:\:{came}\:{frpm} \\ $$