Question Number 132432 by Chhing last updated on 14/Feb/21
$$ \\ $$$$\:\:\mathrm{Solve}\:\:\mathrm{differential}\:\:\mathrm{equations} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{1}/\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}'+\mathrm{xy}=\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}/\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}'−\mathrm{xy}+\frac{\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{3}/\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{lnx}\right)\mathrm{y}''+\mathrm{y}=\mathrm{0}\:,\:\mathrm{know}\:\mathrm{that}\:\mathrm{y}=\mathrm{lnx}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Feb/21
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{h}\:\rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{'} \:+\mathrm{xy}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{'} \:=−\mathrm{xy}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{y}^{'} }{\mathrm{y}}\:=\frac{−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=−\int\:\frac{\mathrm{xdx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right.} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{c}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:=−\mathrm{a}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}} \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\:=_{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}} \frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\:\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid^{\mathrm{3}} .\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} \:.\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)} \\ $$$$….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Feb/21
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{'} −\mathrm{xy}+\frac{\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{'} =\mathrm{xy}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{y}^{'} }{\mathrm{y}}\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=\int\:\frac{\mathrm{xdx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:+\mathrm{c} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\mid\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\:\sqrt{\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\mid}\:\:\mathrm{solution}\:\mathrm{on}\:\mathrm{w}=\left\{\mathrm{x}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}>\mathrm{0}\right\} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\:\:\mathrm{lagrange}\:\mathrm{method}\:\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{k}^{'} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:+\mathrm{k}\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{k}^{'} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:+\mathrm{kx}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\mathrm{xk}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}^{'} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:=−\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}^{'} \:=\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}}\:\Rightarrow\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)=\int\:\:\frac{\mathrm{2xdx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}}\:+\lambda\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\left\{\:\int\:\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}}\mathrm{dx}\:+\lambda\right\} \\ $$
Commented by Chhing last updated on 15/Feb/21
$$\mathrm{Thank}\:\:\mathrm{sir} \\ $$