Question Number 139577 by bemath last updated on 29/Apr/21
$$\:\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{real}\:\mathrm{number}\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{\left(\mathrm{z}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}+\mathrm{3}=\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mid\mathrm{y}−\mathrm{2}\mid+\mid\mathrm{z}−\mathrm{3}\mid\: \\ $$
Answered by mr W last updated on 29/Apr/21
$${a}=\mid{x}−\mathrm{1}\mid\geqslant\mathrm{0},\:{b}=\mid{y}−\mathrm{2}\mid\geqslant\mathrm{0},\:{c}=\mid{z}−\mathrm{3}\mid\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}+\mathrm{3}={a}+{b}+{c} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left({b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{b}+\mathrm{4}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left({c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{c}+\mathrm{9}\right)+\mathrm{3}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left({b}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left({c}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{a}=\mid{x}−\mathrm{1}\mid=\mathrm{1}\:\Rightarrow{x}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{b}=\mid{y}−\mathrm{2}\mid=\mathrm{2}\:\Rightarrow{y}=\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow{c}=\mid{z}−\mathrm{3}\mid=\mathrm{3}\:\Rightarrow{z}=\mathrm{6} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 29/Apr/21
$$\mathcal{V}\:\mathcal{N}{ice}\:{as}\:{usual}! \\ $$
Commented by mr W last updated on 29/Apr/21
$${thanks}\:{sir}! \\ $$