Question Number 73033 by mathmax by abdo last updated on 05/Nov/19
$${solve}\:{inside}\:{N}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{4}{y}\left({y}+\mathrm{1}\right) \\ $$
Answered by mind is power last updated on 05/Nov/19
$$\Leftrightarrow\mathrm{4x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{16y}\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\geqslant\mathrm{y}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\left(\mathrm{4y}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{4y}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{4y}−\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4y}+\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\:\mathrm{4y}−\mathrm{2x}+\mathrm{1}=\mathrm{1}}\\{\mathrm{4y}+\mathrm{2x}+\mathrm{3}=\mathrm{3}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$