Question Number 9367 by tawakalitu last updated on 02/Dec/16
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{simultaneously}. \\ $$$$\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{4xy}\:+\:\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3}\:\:\:………\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{3x}\:+\:\mathrm{3y}\:=\:\mathrm{4}\:\:\:\:…….\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$
Answered by mrW last updated on 02/Dec/16
$$\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}\right)−\mathrm{2xy}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy}=\mathrm{3}\:\:\:\:\:…..\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}+\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{2xy}=\mathrm{4} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{2xy}=\mathrm{4}\:\:\:\:…..\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{u}=\mathrm{x}+\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{v}=\mathrm{xy} \\ $$$$\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2v}=\mathrm{3}\:\:\:…..\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3u}−\mathrm{2v}=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9u}−\mathrm{6v}=\mathrm{12} \\ $$$$−\:\left(\mathrm{i}\right): \\ $$$$\mathrm{9u}−\mathrm{4v}=\mathrm{9}\:\:\:…..\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{v}=\frac{\mathrm{9}\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{9}\left(\frac{\mathrm{u}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\mathrm{u}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{u}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{u}=\left(\mathrm{1},\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{v}=\left(\mathrm{0},\:−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\right) \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{u} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{u}−\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{xy}=\mathrm{v} \\ $$$$\mathrm{x}\left(\mathrm{u}−\mathrm{x}\right)=\mathrm{v} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ux}+\mathrm{v}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{u}\pm\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4v}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{u}\mp\sqrt{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4v}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{u}=\mathrm{1},\:\mathrm{v}=\mathrm{0}: \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}\pm\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\left(\mathrm{1},\:\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{y}=\left(\mathrm{0},\:\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{u}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{v}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}: \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\pm\sqrt{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}×\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}}=\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\mathrm{y}=\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{together}: \\ $$$$\mathrm{x}=\left(\mathrm{1},\:\mathrm{0},\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\mathrm{y}=\left(\mathrm{0},\:\mathrm{1},\:\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$
Commented by tawakalitu last updated on 03/Dec/16
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}. \\ $$