Question Number 10222 by Tawakalitu ayo mi last updated on 30/Jan/17
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{simultaneously}. \\ $$$$\mathrm{m}^{\mathrm{4}} \:+\:\mathrm{n}^{\mathrm{4}} \:=\:\mathrm{9m}^{\mathrm{2}} \mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:……\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{m}\:+\:\mathrm{n}\:=\:\mathrm{4}\:……..\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 01/Feb/17
$$\mathrm{Hi}\:\mathrm{the}\:\mathrm{font}\:\mathrm{that}\:\mathrm{u}\:\mathrm{use}\:\mathrm{appears}\:\mathrm{too} \\ $$$$\mathrm{big}.\:\mathrm{Are}\:\mathrm{u}\:\mathrm{using}\:\mathrm{a}\:\mathrm{large}\:\mathrm{font}\:\mathrm{size}? \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 30/Jan/17
$${m}^{\mathrm{4}} +{n}^{\mathrm{4}} =\mathrm{9}{m}^{\mathrm{2}} {n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$${m}^{\mathrm{4}} +{n}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{m}^{\mathrm{2}} {n}^{\mathrm{2}} =\mathrm{11}{m}^{\mathrm{2}} {n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\left({m}^{\mathrm{2}} +{n}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{11}{m}^{\mathrm{2}} {n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\left({m}^{\mathrm{2}} +{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{mn}−\mathrm{2}{mn}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{11}{m}^{\mathrm{2}} {n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\left[\left({m}+{n}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{mn}\right]=\mathrm{11}{m}^{\mathrm{2}} {n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{16}−\mathrm{2}{mn}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{11}{m}^{\mathrm{2}} {n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$${mn}={u} \\ $$$$\left(\mathrm{16}−\mathrm{2}{u}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{11}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{above} \\ $$$$\mathrm{1}.\:\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{quadratic}\:{u}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:\mathrm{2}\:\mathrm{values}\:\mathrm{for}\:{mn}. \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{Given}\:{m}+{n}=\mathrm{4}\:\mathrm{and}\:\mathrm{a}\:\mathrm{value}\:\mathrm{for}\:{mn}\:\mathrm{you} \\ $$$$\mathrm{can}\:\mathrm{find}\:{m}−{n}\:\mathrm{and}\:\mathrm{hence}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{m}\:\mathrm{and}\:\mathrm{n} \\ $$
Commented by Tawakalitu ayo mi last updated on 30/Jan/17
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Answered by arge last updated on 03/Feb/17
$$ \\ $$$$ \\ $$$${m}^{\mathrm{4}} −\mathrm{9}{m}^{\mathrm{2}} {n}^{\mathrm{2}} +{n}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${m}^{\mathrm{2}} \left({m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}} \right)+\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${m}^{\mathrm{2}} \left({m}−\mathrm{3}{n}\right)\left({m}+\mathrm{3}{n}\right)+\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}……\left({i}\right) \\ $$$${m}=\mathrm{4}−{n}……\left({ii}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{4}−{n}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4}−{n}−\mathrm{3}{n}\right)\left(\mathrm{4}−{n}+\mathrm{3}{n}\right)+\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{16}−\mathrm{8}{n}+{n}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{4}−\mathrm{4}{n}\right)\left(\mathrm{4}+{n}\right)+\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4}\left(\mathrm{16}−\mathrm{8}{n}+{n}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−{n}\right)\left(\mathrm{4}+{n}\right)+\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{64}−\mathrm{32}{n}+\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{4}+{n}−\mathrm{4}{n}−{n}^{\mathrm{2}} \right)+\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{64}−\mathrm{32}{n}+\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{4}−\mathrm{3}{n}−{n}^{\mathrm{2}} \right)+\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{256}−\mathrm{192}{n}−\mathrm{64}{n}^{\mathrm{2}^{} } −\mathrm{128}{n}+\mathrm{96}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{32}{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{16}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{n}^{\mathrm{4}} +{n}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}{n}^{\mathrm{4}} −\mathrm{20}{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{48}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{320}{n}−\mathrm{255}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$${por}\:{division}\:{sintetica}: \\ $$$$ \\ $$$$\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{17}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{65}{n}+\mathrm{255}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$${n}=\mathrm{1}\:\:\:\:\therefore\therefore\therefore{Rta} \\ $$$${m}=\mathrm{3}\:\:\:\therefore\therefore\therefore{Rta} \\ $$