Question Number 8955 by Sopheak last updated on 07/Nov/16
$${Solve}\:{the}\:{equation}\:{below}\: \\ $$$$\sqrt{{x}−\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{x}−\mathrm{11}} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 08/Nov/16
$${x}−\mathrm{2}={u} \\ $$$$\sqrt{{u}}=\frac{\mathrm{5}\left({u}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}\left({u}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}}{\left({u}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}\left({u}+\mathrm{2}\right)−\mathrm{11}} \\ $$$$\sqrt{{u}}=\frac{\mathrm{5}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{20}{u}+\mathrm{20}−\mathrm{10}{u}−\mathrm{20}+\mathrm{1}}{{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{u}+\mathrm{4}+\mathrm{6}{u}+\mathrm{12}−\mathrm{11}} \\ $$$$\sqrt{{u}}=\frac{\mathrm{5}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}{u}+\mathrm{1}}{{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}{u}+\mathrm{5}} \\ $$$${u}^{\mathrm{2}} \sqrt{{u}}−\mathrm{5}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}{u}\sqrt{{u}}−\mathrm{10}{u}+\mathrm{5}\sqrt{{u}}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\sqrt{{u}}={y} \\ $$$${y}^{\mathrm{5}} −\mathrm{5}{y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{10}{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{10}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{y}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{A}\right) \\ $$$${y}^{\mathrm{5}} −{y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}{y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{y}+{y}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${y}=\mathrm{1}\Rightarrow{u}=\mathrm{1}\Rightarrow{x}=\mathrm{3}\:\:{sol}\:\mathrm{1} \\ $$$${y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{y}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}{y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{y}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} \left({y}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}\left({y}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({y}\left({y}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left({y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} =\mathrm{0}\Rightarrow{y}=\mathrm{1},{x}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{5}\:\mathrm{solutions}\:\:\mathrm{of}\:{A}\:\mathrm{are}\:\mathrm{equal} \\ $$$${y}=\mathrm{1}\Rightarrow{u}=\mathrm{1}\Rightarrow{x}=\mathrm{3} \\ $$