Question Number 976 by 123456 last updated on 11/May/15
$$\begin{cases}{\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:\left({y}−{z}\right)={a}}\\{\mathrm{tan}\:{y}\:\mathrm{tan}\:\left({z}−{x}\right)={b}}\\{\mathrm{tan}\:{z}\:\mathrm{tan}\:\left({x}−{y}\right)={c}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{wich}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:{a},{b},{c}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system} \\ $$$$\mathrm{have}\:\mathrm{solutions}? \\ $$$$\left({x},{y},{z},{a},{b},{c}\right)\in\mathbb{R}^{\mathrm{6}} \\ $$
Commented by 123456 last updated on 11/May/15
$$\begin{cases}{\frac{\mathrm{tan}\:{x}\left(\mathrm{tan}\:{y}−\mathrm{tan}\:{z}\right)}{\mathrm{tan}\:{y}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}}={a}}\\{\frac{\mathrm{tan}\:{y}\left(\mathrm{tan}\:{z}−\mathrm{tan}\:{x}\right)}{\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}}={b}}\\{\frac{\mathrm{tan}\:{z}\left(\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:{y}\right)}{\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{y}+\mathrm{1}}={c}}\end{cases} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{tan}\:{x}=\frac{{a}\left(\mathrm{tan}\:{y}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{y}−\mathrm{tan}\:{z}}}\\{\mathrm{tan}\:{y}=\frac{{b}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{z}−\mathrm{tan}\:{x}}}\\{\mathrm{tan}\:{z}=\frac{{c}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{y}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:{y}}}\end{cases} \\ $$$$\frac{\mathrm{tan}\:{x}\left(\mathrm{tan}\:{y}−\mathrm{tan}\:{z}\right)}{\mathrm{tan}\:{y}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}\:}={a} \\ $$$$\frac{\mathrm{tan}\:{x}\left[\frac{{b}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{z}−\mathrm{tan}\:{x}}−\frac{{c}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{y}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:{y}}\right]}{\frac{{b}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{z}−\mathrm{tan}\:{x}}×\frac{{c}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{y}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:{y}}+\mathrm{1}}={a} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 11/May/15
$$\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{y}−\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{z}={a}\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{z}+{a} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{z}−\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{x}={b}\mathrm{tan}\:{z}\mathrm{tan}\:{x}+{b} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{z}\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:{z}\mathrm{tan}\:{y}={c}\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{y}+{c} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{y}={u} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{z}={v} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{z}\mathrm{tan}\:{x}={w} \\ $$$${u}−{w}={av}+\mathrm{1}\Rightarrow{u}−{av}−{w}={a} \\ $$$${v}−{u}={bw}+\mathrm{1}\Rightarrow−{u}+{v}−{bw}={b} \\ $$$${w}−{v}={cu}+\mathrm{1}\Rightarrow−{cu}−{v}−{w}={c} \\ $$$${D}=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{−{a}}&{−\mathrm{1}}\\{−\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{−{b}}\\{−{c}}&{−\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−{b}\right)+{a}\left(−\mathrm{1}−{bc}\right)−\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+{c}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}−{b}−{a}−{abc}−\mathrm{1}−{c} \\ $$$$=−{abc}−{a}−{b}−{c} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{in}\:{u},\:{v},\:{w}\:{is}\:\mathrm{consistent}\:\mathrm{if} \\ $$$${a}+{b}+{c}+{abc}\neq\mathrm{0} \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 11/May/15
$$\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{y}={u} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{z}={v} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{z}\mathrm{tan}\:{x}={w} \\ $$$$\left(\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{z}\right)^{\mathrm{2}} ={uvw} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} {x}=\frac{{uw}}{{v}}\:,\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} {y}=…{etc} \\ $$