Question Number 140555 by liberty last updated on 09/May/21
$$\mathrm{The}\:\mathrm{coordinates}\:\mathrm{of}\:\mathrm{A},\mathrm{B}\:,\mathrm{C}\:\mathrm{are}\: \\ $$$$\left(\mathrm{6},\mathrm{3}\right),\left(−\mathrm{3},\mathrm{5}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{4},−\mathrm{2}\right)\:\mathrm{respectively} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{P}\:\mathrm{is}\:\mathrm{any}\:\mathrm{point}\:\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right).\:\mathrm{Find}\:\mathrm{ratio} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{area}\:\bigtriangleup\mathrm{PBC}\:\&\:\bigtriangleup\mathrm{ABC}. \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 09/May/21
$$\mathrm{area}\:\bigtriangleup\mathrm{PBC}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid\begin{vmatrix}{\:\:\:\mathrm{x}\:\:\:\:\:\mathrm{y}\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{−\mathrm{3}\:\:\:\:\mathrm{5}\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{\:\:\:\mathrm{4}\:\:\:−\mathrm{2}\:\:\:\mathrm{1}}\end{vmatrix}\mid\:=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\mid\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{7}\mid \\ $$$$\mathrm{area}\:\bigtriangleup\mathrm{ABC}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid\:\begin{vmatrix}{\:\:\:\mathrm{6}\:\:\:\:\:\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{−\mathrm{3}\:\:\:\mathrm{5}\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{\:\:\mathrm{4}\:\:\:−\mathrm{2}\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{vmatrix}\mid=\:\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{area}\:\bigtriangleup\mathrm{PBC}}{\mathrm{area}\:\bigtriangleup\mathrm{ABC}}\:=\:\frac{\mid\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{7}\mid}{\mathrm{7}}\:. \\ $$