Question Number 71196 by Rio Michael last updated on 12/Oct/19
$${the}\:{curve}\:{y}\:=\:{f}\left({x}\right),\:{when}\:{f}\left({x}\right)\:{is}\:{a}\:{quadratic}\:{expression}\:{has}\: \\ $$$${a}\:{maximum}\:{value}\:{point}\:{at}\:\left(\mathrm{1},\mathrm{4}\right).\:{The}\:{curve}\:{touches}\:{the}\:{line} \\ $$$$\mathrm{6}{x}\:+\:{y}\:=\:\mathrm{13}.\:{Find}\:{the}\:{value}\:{of}\:{x}\:{for}\:{which}\:{y}\:=\:\mathrm{8} \\ $$
Answered by MJS last updated on 12/Oct/19
$${f}\left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{quadratic}\:\Leftrightarrow\:{y}={ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c} \\ $$$$\begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{\mathrm{4}}\end{pmatrix}\in{f}\left({x}\right)\:\Leftrightarrow\:\mathrm{4}={a}+{b}+{c}\:\Rightarrow\:{c}=\mathrm{4}−{a}−{b} \\ $$$$\Rightarrow\:{y}={ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+\mathrm{4}−{a}−{b} \\ $$$$\mathrm{maximum}\:\mathrm{at}\:\begin{pmatrix}{\mathrm{1}}\\{\mathrm{4}}\end{pmatrix}\:\Leftrightarrow\:{f}'\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\:\wedge\:{f}''\left(\mathrm{1}\right)<\mathrm{0} \\ $$$${y}'=\mathrm{2}{ax}+{b}\:\rightarrow\:\mathrm{2}{a}+{b}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{b}=−\mathrm{2}{a} \\ $$$${y}''=\mathrm{2}{a}\:\rightarrow\:{a}<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{y}={ax}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ax}+{a}+\mathrm{4} \\ $$$${y}=\mathrm{13}−\mathrm{6}{x}\:\mathrm{is}\:\mathrm{tangent} \\ $$$$\mathrm{tangent}\:\mathrm{in}\:\begin{pmatrix}{{p}}\\{{f}\left({p}\right)}\end{pmatrix}\in{f}\left({x}\right):\:{y}=\mathrm{2}{a}\left({p}−\mathrm{1}\right){x}+{a}\left(\mathrm{1}−{p}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}{a}\left({p}−\mathrm{1}\right)=−\mathrm{6}\wedge{a}\left(\mathrm{1}−{p}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{4}=\mathrm{13} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}=−\mathrm{3}\wedge{p}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:{y}=−\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{x}+\mathrm{1} \\ $$$${y}=\mathrm{8}\:\Rightarrow\:\mathrm{8}=−\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{1}\pm\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\mathrm{i} \\ $$
Commented by Rio Michael last updated on 13/Oct/19
$${thanks}\:{sir} \\ $$