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the-expression-ax-2-bx-c-is-divisible-by-x-1-has-reminder-2-when-divided-by-x-1-and-has-reminder-8-when-divided-by-x-2-find-the-value-of-a-b-and-c-




Question Number 9575 by j.masanja06@gmail.com last updated on 18/Dec/16
the expression ax^2  + bx + c is divisible  by x−1,has reminder 2 when divided by x+1,and has reminder 8 when divided by x−2.find the value of a,b and c.
$$\mathrm{the}\:\mathrm{expression}\:\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{bx}\:+\:\mathrm{c}\:\mathrm{is}\:\mathrm{divisible}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{x}−\mathrm{1},\mathrm{has}\:\mathrm{reminder}\:\mathrm{2}\:\mathrm{when}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\mathrm{x}+\mathrm{1},\mathrm{and}\:\mathrm{has}\:\mathrm{reminder}\:\mathrm{8}\:\mathrm{when}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\mathrm{x}−\mathrm{2}.\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a},\mathrm{b}\:\mathrm{and}\:\mathrm{c}. \\ $$
Commented by ridwan balatif last updated on 18/Dec/16
P(x)≡ax^2 +bx+c  (x−1)is divisible P(x)→P(1)=0  a(1)^2 +b(1)+c=0  a+b+c=0...(1)  when P(x) is divided by (x+1), P(x) has reminder 2, it′s means P(−1)=2  a(−1)^2 +b(−1)+c=2  a−b+c=2...(2)  when P(x) is divided by (x−2), P(x) has reminder 8, it′s means P(2)=8  a(2)^2 +b(2)+c=8  4a+2b+c=8...(3)  (1)−(2)  a+b+c=0  a−b+c=2  −−−−−−(−)  2b=−2     b=−1...∗  (1)−(3)        a+b+c=0  4a+2b+c=8  −−−−−−−(−)           −3a−b=−8  −3a−(−1)=−8                   −3a=−7                          a=(7/3)...∗∗  a+b+c=0  (7/3)+(−1)+c=0  c=−(4/3)...∗∗∗  so, a=(7/3),b=−1,c=−(4/3)  P(x)≡(7/3)x^2 −x+(4/3)
$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\equiv\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{c} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{is}\:\mathrm{divisible}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\rightarrow\mathrm{P}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0}…\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right),\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{reminder}\:\mathrm{2},\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{means}\:\mathrm{P}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{a}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{c}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{2}…\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right),\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{reminder}\:\mathrm{8},\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{means}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{a}\left(\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{c}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{4a}+\mathrm{2b}+\mathrm{c}=\mathrm{8}…\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{2} \\ $$$$−−−−−−\left(−\right) \\ $$$$\mathrm{2b}=−\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{b}=−\mathrm{1}…\ast \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4a}+\mathrm{2b}+\mathrm{c}=\mathrm{8} \\ $$$$−−−−−−−\left(−\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{3a}−\mathrm{b}=−\mathrm{8} \\ $$$$−\mathrm{3a}−\left(−\mathrm{1}\right)=−\mathrm{8} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{3a}=−\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}…\ast\ast \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}+\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{c}=−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}…\ast\ast\ast \\ $$$$\mathrm{so},\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}},\mathrm{b}=−\mathrm{1},\mathrm{c}=−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\equiv\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$

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