Question Number 137382 by bramlexs22 last updated on 02/Apr/21
$${The}\:{solution}\:{set}\:{of}\:{equation} \\ $$$$\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3}{x}\:=\:\mathrm{1}\: \\ $$$${on}\:\mathrm{0}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{2}\pi \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 03/Apr/21
$$\mathrm{I}\:\mathrm{get}\:\mathrm{for}\:\mathrm{0}\leqslant{x}<\mathrm{2}\pi \\ $$$${x}\in\left\{\frac{\pi}{\mathrm{6}},\:\frac{\pi}{\mathrm{4}},\:\frac{\pi}{\mathrm{2}},\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{6}},\:\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{6}},\:\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{2}},\:\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{4}},\:\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{6}}\right\} \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 02/Apr/21
$$\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3x}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}\:+\:\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}+\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{4x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}+\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\left(\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}−\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}+\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\left(\mathrm{4cos}\:\mathrm{2x}\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\ast\right)\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:=\:\mathrm{0} \mathrm{x}\:=\:\pm\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:+\:\mathrm{n}\pi \\ $$$$\left(\ast\ast\right)\:\mathrm{2cos}\:\mathrm{2x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\right)−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2cos}\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\: \:\begin{cases}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:;\:\mathrm{x}\:=\:\pm\:\frac{\pi}{\mathrm{6}}\:+\:\mathrm{n}\pi}\\{\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:=−\:\mathrm{1}\:;\:\mathrm{x}=\pm\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{n}\pi\:}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$
Answered by liberty last updated on 02/Apr/21
$$\Leftrightarrow\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3}{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{4}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{4}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{4}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}\left(\mathrm{2cos}\:\mathrm{3}{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\right)=\mathrm{0}\: \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:=\:\mathrm{0}\Rightarrow{x}=\pm\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}+{n}\pi}\\{\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}=\mathrm{0}\Rightarrow{x}=\pm\frac{\pi}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{2}{n}\pi}{\mathrm{3}}}\\{\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{0}\Rightarrow{x}=\pm\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{n}\pi}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$