Question Number 12535 by tawa last updated on 24/Apr/17
$$\mathrm{Use}\:\mathrm{the}\:\mathrm{reduction}\:\mathrm{formular}. \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \:=\:\int\mathrm{sin}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\:+\:\frac{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \:−\:\mathrm{2}\:,\:\mathrm{to}\:\mathrm{evaluate}\: \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}\:} =\:\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 25/Apr/17
![I_n = ∫sin^n (x) dx = −(1/n) sin^(n − 1) (x)cos(x) + ((n − 1)/n)I_(n−2) I_6 =∫sin^6 x dx=−(1/6)sin^5 x cos x+(5/6)∫sin^4 x dx I_4 =∫sin^4 x dx=−(1/4)sin^3 x cos x+(3/4)∫sin^2 x dx I_2 =∫sin^2 x dx=−(1/2)sin x cos x+(1/2)∫ dx=(1/2)x−((sin 2x)/4) I_4 =−(1/4)sin^3 x cos x+(3/4)((1/2)x−((sin 2x)/4))=(3/8)x−(3/(16))sin 2x−(1/4)sin^3 cos x I_6 =−(1/6)sin^5 x cos x+(5/6)[(3/8)x−(3/(16))sin 2x−(1/4)sin^3 cos x] =(5/(16))x−(5/(32))sin 2x−(1/(24))sin^3 cos x−(1/6)sin^5 x cos x+C](https://www.tinkutara.com/question/Q12570.png)
$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \:=\:\int\mathrm{sin}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\:+\:\frac{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$${I}_{\mathrm{6}} =\int\mathrm{sin}^{\mathrm{6}} \:{x}\:{dx}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \:{x}\:{dx} \\ $$$${I}_{\mathrm{4}} =\int\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \:{x}\:{dx}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:{dx} \\ $$$${I}_{\mathrm{2}} =\int\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{x}\:{dx}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}−\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{4}} \\ $$$$ \\ $$$${I}_{\mathrm{4}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}−\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{4}}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{cos}\:{x} \\ $$$$ \\ $$$${I}_{\mathrm{6}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\left[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{cos}\:{x}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{16}}{x}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{cos}\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}+{C} \\ $$
Commented by tawa last updated on 25/Apr/17
$$\mathrm{wow},\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\: \\ $$