Question Number 140690 by liberty last updated on 11/May/21
$$\:\mathrm{Vector}\: \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathcal{L}_{\mathrm{1}} =\:\mathrm{AC}\:\mathrm{where}\:\mathrm{A}=\left(\mathrm{2},−\mathrm{1},\mathrm{3}\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{C}=\left(\mathrm{1},\mathrm{0},−\mathrm{5}\right)\mathrm{and}\:\mathrm{let}\:\mathcal{L}_{\mathrm{2}} =\:\mathrm{BD}\:\mathrm{where} \\ $$$$\mathrm{B}=\left(\mathrm{1},\mathrm{3},\mathrm{0}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{D}=\left(\mathrm{3},−\mathrm{4},\mathrm{1}\right).\:\mathrm{Determine} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{distance}\:\mathrm{between}\:\mathcal{L}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathcal{L}_{\mathrm{2}} . \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 11/May/21
$$\mathrm{a}\:\mathrm{vector}\:\mathrm{that}\:\mathrm{is}\:\mathrm{simultaneously}\:\mathrm{perpendicular} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathcal{L}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathcal{L}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{is}\:\boldsymbol{\mathrm{N}}\:=\overset{\rightarrow} {\mathrm{A}C}\:×\overset{\rightarrow} {\mathrm{B}D}\:=\:\begin{vmatrix}{−\mathrm{1}\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:−\mathrm{8}}\\{\:\:\:\mathrm{2}\:\:\:−\mathrm{7}\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{N}}\:=\:−\mathrm{55}{i}\:−\mathrm{15}{j}\:+\mathrm{5}{k}\: \\ $$$$\mathrm{Then}\:{d}\:=\:\mid\mathrm{pr}_{\mathrm{N}} \:\overset{\rightarrow} {\mathrm{A}B}\:\mid\:=\:\mid\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{A}B}\:.\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{N}}}{\mid\boldsymbol{\mathrm{N}}\mid}\:\mid \\ $$$${d}\:=\:\frac{\mid\left(−{i}+\mathrm{4}{j}−\mathrm{3}{k}\right).\mathrm{5}\left(−\mathrm{11}{i}−\mathrm{3}{j}+{k}\right)\mid}{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{121}+\mathrm{9}+\mathrm{1}}} \\ $$$${d}\:=\:\frac{\mid\mathrm{11}−\mathrm{12}−\mathrm{3}\mid}{\:\sqrt{\mathrm{131}}}\:=\:\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{131}}} \\ $$