Question Number 7659 by Tawakalitu. last updated on 07/Sep/16
$${What}\:{is}\:{the}\:{sum}\:{of}\:{this}\:{sequence} \\ $$$${sin}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)\:+\:{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}\right)+\:{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{3}{x}\right)\:+\:…\:+\:{sin}^{\mathrm{2}} \left({nx}\right) \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 07/Sep/16
$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {nx}=\left(\frac{{e}^{{inx}} −{e}^{−{inx}} }{\mathrm{2}{i}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{{e}^{\mathrm{2}{inx}} −{e}^{−\mathrm{2}{inx}} −\mathrm{2}}{−\mathrm{2}} \\ $$$$=−\frac{{e}^{\mathrm{2}{inx}} }{\mathrm{2}}+\frac{{e}^{−\mathrm{2}{inx}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Given}\:\mathrm{sum}=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{e}^{−\mathrm{2}{ijx}} }{\mathrm{2}}−\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{e}^{\mathrm{2}{ijx}} }{\mathrm{2}}+\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{1} \\ $$$${first}\:\mathrm{2}\:{terms}\:{are}\:{GP} \\ $$$$=\frac{{e}^{−\mathrm{2}{ix}} \left({e}^{−\mathrm{2}{inx}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left({e}^{−\mathrm{2}{ix}} −\mathrm{1}\right)}−\frac{{e}^{\mathrm{2}{ix}} \left({e}^{\mathrm{2}{inx}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left({e}^{\mathrm{2}{ix}} −\mathrm{1}\right)}−{n} \\ $$