Question Number 1208 by 123456 last updated on 14/Jul/15
$$\mathrm{wich}\:\mathrm{statment}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true} \\ $$$$\mathrm{1}.\mathrm{if}\:{x}\in\mathbb{Q}\:\mathrm{and}\:{y}\in\mathbb{Z},\:\mathrm{then}\:{xy}\in\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{2}.\mathrm{if}\:{x}\in\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\:\mathrm{and}\:{y}\in\mathbb{Z},\:\mathrm{then}\:{xy}\in\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{3}.\mathrm{if}\:{x}\in\mathbb{R},\:\mathrm{then}\:\exists{y}\in\mathbb{R}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:{xy}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{4}.\mathrm{if}\:{x}\in\mathbb{N}/\left\{\mathrm{0}\right\},\:\mathrm{then}\:\exists{y}\in\mathbb{Q}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\sqrt{\frac{{y}\left({x}+\mathrm{2}\right)}{{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)}}\in\mathbb{Q} \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 18/Jul/15
$$\mathrm{1}.\:\mathrm{false}\:{x}=\mathrm{1},\:{y}=\mathrm{1},\:{xy}\notin\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{false}.\:{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:{y}=\mathrm{1},\:{xy}\notin\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{3}.\:\mathrm{false}.\:{x}=\mathrm{0}\:\nexists{y}\in\mathbb{R}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:{xy}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{4}.\:\mathrm{true} \\ $$$$\frac{{y}\left({x}+\mathrm{2}\right)}{{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)}=\frac{{p}^{\mathrm{2}} }{{q}^{\mathrm{2}} }\Rightarrow{y}=\frac{{p}^{\mathrm{2}} {x}\left({x}+\mathrm{1}\right)}{{q}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{2}\right)},\:{x},{p},{q}\:\in\mathbb{N}\Rightarrow{y}\in\mathbb{Q} \\ $$$$ \\ $$