Question Number 135672 by Raxreedoroid last updated on 14/Mar/21
$$\mathrm{Write}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}{kx}^{{k}−\mathrm{1}} \:\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:{n} \\ $$
Answered by Olaf last updated on 15/Mar/21
$${a}^{{n}} −{b}^{{n}} \:=\:\left({a}−{b}\right)\left({a}^{{n}−\mathrm{1}} +{a}^{{n}−\mathrm{2}} {b}+{a}^{{n}−\mathrm{3}} {b}^{\mathrm{2}} …\right. \\ $$$$\left.+{a}^{\mathrm{2}} {b}^{{n}−\mathrm{3}} +{ab}^{{n}−\mathrm{2}} +{b}^{{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{If}\:{a}\:=\:{x}\:\mathrm{and}\:{b}\:=\:\mathrm{1}\:: \\ $$$${x}^{{n}} −\mathrm{1}\:=\:\left({x}−\mathrm{1}\right)\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{x}^{{k}} \\ $$$$\mathrm{Let}\:{f}\left({x}\right)\:=\:\frac{{x}^{{n}} −\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\:\left({x}\neq\mathrm{1}\right)\:\mathrm{then}\:{f}\left({x}\right)\:=\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{x}^{{k}} \\ $$$$\mathrm{and}\:{f}'\left({x}\right)\:=\:\frac{{nx}^{{n}−\mathrm{1}} \left({x}−\mathrm{1}\right)−\left({x}^{{n}} −\mathrm{1}\right)}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{kx}^{{k}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right){x}^{{n}} −{nx}^{{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{kx}^{{k}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\frac{\left({n}−\mathrm{2}\right){x}^{{n}−\mathrm{1}} −\left({n}−\mathrm{1}\right){x}^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}{kx}^{{k}−\mathrm{1}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Mar/21
$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{kx}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\:\left(\mathrm{if}\:\mathrm{x}\neq\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\mathrm{kx}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:−\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}\right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{k}\:=\frac{\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 15/Mar/21
$$\mathrm{sorry}\:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by Ñï= last updated on 15/Mar/21
$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}{kx}^{{k}−\mathrm{1}} =\frac{{d}}{{dx}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} {kx}^{{k}−\mathrm{1}} {dx}=\frac{{d}}{{dx}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}{x}^{{k}} =\frac{{d}}{{dx}}\left[\frac{{x}\left({x}^{{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{{x}−\mathrm{1}}\right] \\ $$$$=\frac{\left({n}−\mathrm{2}\right){x}^{{n}−\mathrm{1}} −\left({n}−\mathrm{1}\right){x}^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$