Question Number 12463 by tawa last updated on 23/Apr/17
$$\int\:\:\frac{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:+\:\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}/\mathrm{3}} }\:\:\mathrm{dx} \\ $$
Answered by ridwan balatif last updated on 23/Apr/17
$$\int\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{let}:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{3}=\mathrm{u} \\ $$$$\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{2x}+\mathrm{2}\rightarrow\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{du} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{u}^{−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} \mathrm{du} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\mathrm{u}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +\mathrm{C} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +\mathrm{C} \\ $$
Commented by tawa last updated on 23/Apr/17
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$