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x-12-log-3-x-x-18-log-2-x-find-x-

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Question Number 138690 by KwesiDerek last updated on 16/Apr/21
((x/(12)))^(log_(√3) x) =((x/(18)))^(log_(√2) x) find x
$$\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{12}}\right)^{\mathrm{log}_{\sqrt{\mathrm{3}}} \mathrm{x}} =\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{18}}\right)^{\mathrm{log}_{\sqrt{\mathrm{2}}} \mathrm{x}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{find}}\:\boldsymbol{\mathrm{x}} \\ $$
Commented by liberty last updated on 16/Apr/21
x=36 ⇒(((36)/(12)))^(log _(√3) (36)) = 3^(log _3 (36)^2 ) =36^2 ⇒(((36)/(18)))^(log _(√2) (36)) = (2)^(log _2 (36)^2 ) = 36^2
$${x}=\mathrm{36}\:\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{12}}\right)^{\mathrm{log}\:_{\sqrt{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{36}\right)} =\:\mathrm{3}^{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{36}\right)^{\mathrm{2}} } =\mathrm{36}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{18}}\right)^{\mathrm{log}\:_{\sqrt{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{36}\right)} =\:\left(\mathrm{2}\right)^{\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{36}\right)^{\mathrm{2}} } =\:\mathrm{36}^{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by liberty last updated on 16/Apr/21
x^(log _(√(3 )) ((x/(12)))) = x^(log _(√2) ((x/(18)))) ⇒ log _3 ((x/(12)))= log _2 ((x/(18))) ⇒ ((ln x−ln 12)/(ln 3)) = ((ln x−ln 18)/(ln 2)) ⇒ln 2(ln x−ln 12)=ln 3(ln x−ln 18) ⇒ln x(ln 2−ln 3)=ln 2 ln 12−ln 3 ln 18 ⇒ln x = ((ln 2(2ln 2+ln 3)−ln 3(2ln 3+ln 2) )/(ln 2−ln 3)) ln x = ((2ln^2 2+ln 2 ln 3−2ln^2 3−ln 2 ln 3)/(ln 2−ln 3)) ln x = ((2(ln 2−ln 3)(ln 2+ln 3))/(ln 2−ln 3)) ⇔ ln x = ln 36 ; x=36
$${x}^{\mathrm{log}\:_{\sqrt{\mathrm{3}\:}} \left(\frac{{x}}{\mathrm{12}}\right)} \:=\:{x}^{\mathrm{log}\:_{\sqrt{\mathrm{2}}} \left(\frac{{x}}{\mathrm{18}}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\frac{{x}}{\mathrm{12}}\right)=\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} \left(\frac{{x}}{\mathrm{18}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{ln}\:{x}−\mathrm{ln}\:\mathrm{12}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}\:=\:\frac{\mathrm{ln}\:{x}−\mathrm{ln}\:\mathrm{18}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\left(\mathrm{ln}\:{x}−\mathrm{ln}\:\mathrm{12}\right)=\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\left(\mathrm{ln}\:{x}−\mathrm{ln}\:\mathrm{18}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\:{x}\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)=\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{12}−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{18} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\:{x}\:=\:\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}+\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\left(\mathrm{2ln}\:\mathrm{3}+\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\right)\:}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{ln}\:{x}\:=\:\frac{\mathrm{2ln}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}+\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{3}−\mathrm{2ln}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3}−\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{ln}\:{x}\:=\:\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{2}+\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{ln}\:{x}\:=\:\mathrm{ln}\:\mathrm{36}\:;\:{x}=\mathrm{36} \\ $$

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