Question Number 135673 by liberty last updated on 14/Mar/21
$$\int\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:{dx}\: \\ $$
Answered by Olaf last updated on 15/Mar/21
$$\Omega\:=\:\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:{dx} \\ $$$$\Omega\:=\:\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} }\:{dx} \\ $$$$\Omega\:=\:\int\frac{\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left(\sqrt{\mathrm{3}{x}}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+\left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{x}}\right)^{\mathrm{2}} }\:{dx} \\ $$$$\Omega\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\frac{\frac{\left(\mathrm{2}{x}\right)\left(\sqrt{\mathrm{3}}{x}\right)−\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{3}}}{\left(\sqrt{\mathrm{3}{x}}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+\left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{x}}\right)^{\mathrm{2}} }\:{dx} \\ $$$$\Omega\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\frac{{d}\left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{x}}\right)}{\mathrm{1}+\left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{x}}\right)^{\mathrm{2}} }\: \\ $$$$\Omega\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}{x}}\right)+\mathrm{C} \\ $$
Commented by liberty last updated on 15/Mar/21
$${yes}..{thank}\:{you} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Mar/21
$$\mathrm{I}\:=\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int\:\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}\mathrm{dx} \\ $$$$=_{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{t}} \:\:\:\int\:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}\:=_{\mathrm{t}=\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{y}} \:\:\:\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{dy}}{\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctany}\:+\mathrm{C}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right)\:+\mathrm{C} \\ $$