Question Number 137129 by Chhing last updated on 30/Mar/21
$$ \\ $$$$\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}''−\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\:\:,\:\:\mathrm{n}\in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{that}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{expanded}\:\mathrm{in}\:\mathrm{series} \\ $$$$\mathrm{help}\:\mathrm{me} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Mar/21
$$\mathrm{y}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{y}^{''} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left\{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\right\}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{x} \\ $$$$−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{6a}_{\mathrm{3}} \mathrm{x}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left\{\left(\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \right\}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}+\mathrm{2a}_{\mathrm{2}} \:+\mathrm{6a}_{\mathrm{3}} \mathrm{x}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{p}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}\:\mathrm{and} \\ $$$$−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{2a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\mathrm{and}\left(\mathrm{6a}_{\mathrm{3}} −\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$