Question Number 140669 by john_santu last updated on 11/May/21
$$\:{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\:=\:\mathrm{2}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}} \\ $$
Answered by bemath last updated on 11/May/21
$$\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{2x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\mathrm{set}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{g}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{g}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\right)=\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{x}\:;\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{1}\:\wedge\:\frac{−\mathrm{1}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$