Question Number 10170 by Joel575 last updated on 28/Jan/17
$${y}\:.\:{f}\left({xy}\right)\:=\:{f}\left({x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:{x},\mathrm{y}\:\in\:\mathbb{R} \\ $$$$\mathrm{If}\:{f}\left(\mathrm{4}\right)\:=\:\mathrm{1006},\:\mathrm{so}\:{f}\left(\mathrm{2012}\right)\:=\:? \\ $$
Answered by ridwan balatif last updated on 28/Jan/17
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{xy}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{y}},\:\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{4}\right)=\mathrm{1006} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\mathrm{y}=\mathrm{4},\mathrm{then} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{1}.\mathrm{4}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{4}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{1006}=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{4}=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1006}}\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{1}.\mathrm{1006}\right)=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{1006}\right)=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}=\mathrm{2}\:\mathrm{y}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{2}.\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{4}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{1006}} \\ $$$$\mathrm{2}=\mathrm{f}\left(\mathrm{2}.\mathrm{1006}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{2012}\right)=\mathrm{2} \\ $$