Question Number 182183 by amin96 last updated on 05/Dec/22
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \boldsymbol{{e}}^{\boldsymbol{{a}}} \boldsymbol{{a}}^{\boldsymbol{{n}}} \boldsymbol{{da}}=?\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{n}}\geqslant\mathrm{1}\:\:\:\:\boldsymbol{{n}}\in\boldsymbol{{N}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 06/Dec/22
$${I}_{{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {e}^{{x}} {x}^{{n}} {dx} \\ $$$${I}_{\mathrm{0}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {e}^{{x}} {dx}={e}−\mathrm{1} \\ $$$${I}_{{n}} =\left[{e}^{{x}} {x}^{{n}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −{n}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {e}^{{x}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {dx} \\ $$$${I}_{{n}} ={e}−{nI}_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${let}\:{I}_{{n}} ={c}_{{n}} {A}_{{n}} \\ $$$${c}_{{n}} {A}_{{n}} ={e}−{nc}_{{n}−\mathrm{1}} {A}_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${c}_{{n}} {A}_{{n}} +{nc}_{{n}−\mathrm{1}} {A}_{{n}−\mathrm{1}} ={e} \\ $$$${set}\:{c}_{{n}} =−{nc}_{{n}−\mathrm{1}} ,\:{i}.{e}.\:\frac{{c}_{{n}} }{{c}_{{n}−\mathrm{1}} }=−{n} \\ $$$$\frac{{c}_{{n}} }{{c}_{{n}−\mathrm{1}} }×\frac{{c}_{{n}−\mathrm{1}} }{{c}_{{n}−\mathrm{2}} }×…×\frac{{c}_{\mathrm{2}} }{{c}_{\mathrm{1}} }×\frac{{c}_{\mathrm{1}} }{{c}_{\mathrm{0}} }=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {n}! \\ $$$$\frac{{c}_{{n}} }{{c}_{\mathrm{0}} }=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {n}! \\ $$$${c}_{{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {n}!{c}_{\mathrm{0}} \\ $$$${c}_{{n}} \left({A}_{{n}} −{A}_{{n}−\mathrm{1}} \right)={e} \\ $$$${A}_{{n}} −{A}_{{n}−\mathrm{1}} =\frac{{e}}{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {n}!{c}_{\mathrm{0}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\left({A}_{{n}} −{A}_{{n}−\mathrm{1}} \right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{{e}}{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {n}!{c}_{\mathrm{0}} } \\ $$$${A}_{{m}} −{A}_{\mathrm{0}} =\frac{{e}}{{c}_{\mathrm{0}} }\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!} \\ $$$${A}_{{m}} =\frac{{e}}{{c}_{\mathrm{0}} }\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}+{A}_{\mathrm{0}} \\ $$$${c}_{{m}} {A}_{{m}} ={c}_{{m}} \left[\frac{{e}}{{c}_{\mathrm{0}} }\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}+{A}_{\mathrm{0}} \right] \\ $$$${I}_{{m}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{m}} {m}!{c}_{\mathrm{0}} \left[\frac{{e}}{{c}_{\mathrm{0}} }\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}+\frac{{I}_{\mathrm{0}} }{{c}_{\mathrm{0}} }\right] \\ $$$${I}_{{m}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{m}} {m}!\left[{e}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}+{I}_{\mathrm{0}} \right] \\ $$$${I}_{{m}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{m}} {m}!\left[{e}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}+{e}−\mathrm{1}\right] \\ $$$${or} \\ $$$${I}_{{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {n}!{e}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}!}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{e}}\right] \\ $$