Question Number 130676 by EDWIN88 last updated on 28/Jan/21
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}}\:{dx}\:? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Jan/21
![I =∫_0 ^1 ((ln(1+x+x^2 ))/x)dx =∫_0 ^1 ((ln(((1−x^3 )/(1−x))))/x)dx =∫_0 ^1 ((ln(1−x^3 ))/x)dx−∫_0 ^1 ((ln(1−x))/x)dx =Φ_1 −Φ_2 we have ln^′ (1−u)=−(1/(1−u))=−Σ_(n=0) ^∞ u^n ⇒ ln(1−u)=−Σ_(n=0) ^∞ (u^(n+1) /(n+1))+c(c=0) =−Σ_(n=1) ^∞ (u^n /n) ⇒ Φ_2 =−∫_0 ^1 Σ_(n=1) ^∞ (x^(n−1) /n)dx =−Σ_(n=1) ^∞ (1/n)[(1/n)x^n ]_0 ^1 =−Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 )=−(π^2 /6) ln(1−x^3 )=−Σ_(n=1) ^∞ (x^(3n) /n) ⇒((ln(1−x^3 ))/x)=−Σ_(n=1) ^∞ (x^(3n−1) /n) ⇒ ∫_0 ^1 ((ln(1−x^3 ))/x)dx =−Σ_(n=1) ^∞ (1/n)∫_0 ^1 x^(3n−1) dx =−Σ_(n=1) ^∞ (1/n)[(1/(3n))x^(3n) ]_0 ^1 =−(1/3)Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 ) =−(1/3)×(π^2 /6) ⇒ I =−(π^2 /(18))+(π^2 /6) =((3π^2 −π^2 )/(18))=((2π^2 )/(18)) =(π^2 /9)](https://www.tinkutara.com/question/Q130683.png)
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\Phi_{\mathrm{1}} −\Phi_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}^{'} \left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{u}}=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\mathrm{c}\left(\mathrm{c}=\mathrm{0}\right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi_{\mathrm{2}} =−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\mathrm{dx}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)}{\mathrm{x}}=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{3n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3n}}\mathrm{x}^{\mathrm{3n}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{18}}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=\frac{\mathrm{3}\pi^{\mathrm{2}} −\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{18}}=\frac{\mathrm{2}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{18}}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by EDWIN88 last updated on 28/Jan/21
$${yes}… \\ $$