Question Number 97552 by bemath last updated on 08/Jun/20
$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\sqrt{\frac{{x}}{\mathrm{1}−{x}}}\:\mathrm{ln}\left(\frac{{x}}{\mathrm{1}−{x}}\right)\:{dx}\:? \\ $$
Answered by john santu last updated on 08/Jun/20
Answered by abdomathmax last updated on 08/Jun/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\sqrt{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{changement}\:\sqrt{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}=\mathrm{t} \\ $$$$\mathrm{give}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\:=\frac{\mathrm{2t}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\mathrm{t}\:\mathrm{ln}\left(\frac{\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\right)\frac{\mathrm{2t}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{4}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{4}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\mathrm{4}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}−\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{0}−\mathrm{4}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:\Rightarrow\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}+\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnu}}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} }×\frac{−\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \mathrm{lnu}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}\:\Rightarrow\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{lnt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{lnx}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \right)\mathrm{lnxdx} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\left[\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \right)\mathrm{lnx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{n}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{p}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{n}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:−\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\left(\mathrm{2p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{1} \\ $$$$=−\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{those}\:\mathrm{sums}\:…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$