0-2-dt-4-2-sint-6-

Question Number 149917 by mathdanisur last updated on 08/Aug/21

$$\underset{\:\mathrm{0}} {\overset{\:\mathrm{2}\boldsymbol{\pi}} {\int}}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\boldsymbol{\mathrm{t}}\:+\:\mathrm{6}}\:=\:? \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Aug/21

$$\Psi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{sint}\:+\mathrm{6}}\:\:\Rightarrow\Psi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{it}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{it}} }{\mathrm{2i}}\right)+\mathrm{6}} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{2idt}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{it}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{it}} \right)+\mathrm{12i}}\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{it}} \:=\mathrm{z}} \:\:\:\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{2i}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} \right)+\mathrm{12i}}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{iz}} \\ $$$$=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{z}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{6i}\right)}\mathrm{dz} \\ $$$$=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6iz}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:\mathrm{let}\:\Lambda\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{6iz}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\Lambda? \\ $$$$\Delta^{'} \:=\left(\mathrm{3i}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{8}\:=−\mathrm{9}+\mathrm{8}=−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{3i}+\mathrm{i}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{−\mathrm{2i}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{−\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{3i}−\mathrm{i}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{−\mathrm{4i}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{−\mathrm{2i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=−\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}\:\:\mathrm{ona}\: \\ $$$$\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<\mathrm{1}\:\:\mathrm{and}\:\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid=\sqrt{\mathrm{2}}>\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{out}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circle}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\Lambda\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\Lambda\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)}\:\Rightarrow\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{z}_{\mathrm{1}} −\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(−\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\Lambda\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}=\pi\:\Rightarrow\Psi=\pi \\ $$

Commented by mathdanisur last updated on 08/Aug/21

$$\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er},\:\mathrm{Thank}\:\mathrm{You} \\ $$

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