Question Number 173149 by mnjuly1970 last updated on 07/Jul/22
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\infty} \frac{\:{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:.\left(\mathrm{2}+\mathrm{2}{x}\:+{x}^{\:\mathrm{2}} \right)}=\frac{\mathrm{1}}{\sigma}\:\left(\pi−\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sigma\:=\:? \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:−−\:\:\mathrm{solution}\:−− \\ $$$$\:\:\:\:\:\Omega\overset{\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\:={t}} {=}\:\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{{dt}}{\:\mathrm{1}+\:{t}^{\:\mathrm{4}} }\:=\:\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{dt}}{\mathrm{1}\:+\:{t}^{\:\mathrm{4}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\Psi\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\:{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{\:\mathrm{4}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\:\mathrm{1}+{t}^{\:\mathrm{2}} −\left({t}^{\:−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}+{t}^{\:\mathrm{4}} }{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\:\mathrm{1}+\:{t}^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{t}^{\:\mathrm{4}} }\:{dt}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{t}^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\:{t}^{\:\mathrm{4}} }\:{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}\:+{t}^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{t}^{\:\mathrm{4}} }{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\:{t}^{\:−\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{t}^{\:−\mathrm{2}} +\:{t}^{\:\mathrm{2}} }\:{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\:\:\mathrm{1}+{t}^{\:−\mathrm{2}} }{\left(\:{t}^{\:} −\:{t}^{\:−\mathrm{1}} \right)^{\:\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\:\overset{{sub}} {=}\:\left[\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:{tan}^{\:−\mathrm{1}} \left({t}\:−{t}^{\:−\mathrm{1}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:\:\:\:\:\ast \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\:\mathrm{1}−{t}^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{t}^{\:\mathrm{4}} }\:{dt}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{t}^{\:−\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left(\:{t}\:+{t}^{\:−\mathrm{1}} \right)^{\:\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\overset{{t}\:+\frac{\mathrm{1}}{{t}}\:={u}} {=}−\int_{\mathrm{2}} ^{\:\infty} \frac{{du}}{\left(\:{u}−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)\left({u}+\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\left[\mathrm{ln}\left(\frac{{u}\:−\sqrt{\mathrm{2}}}{{u}+\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right]_{\mathrm{2}} ^{\:\infty} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\mathrm{ln}\left(\:\mathrm{3}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)\:\:\:\:\:\ast\ast \\ $$$$\:\:\:\left(\ast\right)\:\&\:\left(\ast\ast\right)::\:\:\:\:\:\:\:\Omega=\mathrm{2}\Psi=\:\:\left(\Phi\:+\:\boldsymbol{\phi}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\left(\:\pi\:−\mathrm{ln}\left(\:\mathrm{3}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)\:\:…\blacksquare\mathrm{m}.\mathrm{n}\right. \\ $$$$ \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 11/Jul/22
$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$