Question Number 160405 by HongKing last updated on 29/Nov/21
$$\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{….}}}}}\:\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:=\:? \\ $$
Commented by quvonnn last updated on 29/Nov/21
$$\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{{x}}}={x} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{2}\right)+{x}={x}\left({x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$
Answered by amin96 last updated on 29/Nov/21
$$\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}}=\boldsymbol{\mathrm{x}}\:\:\:\:\Leftrightarrow\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}}=\boldsymbol{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\:\:\:\Leftrightarrow\:\:\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{2}}=\boldsymbol{\mathrm{x}}−\mathrm{1} \\ $$$$\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{2}\right)\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right)=\boldsymbol{\mathrm{x}}\:\:\:\Leftrightarrow\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{x}}−\mathrm{2}=\boldsymbol{\mathrm{x}}\:\:\:\:\Leftrightarrow\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$